高校(理工类)数学第4节罗伦级数教学(课堂讲义)

§4.4罗伦/洛朗级数1、问题的引入2、罗伦级数的概念3、函数的罗伦展开式4、典型例题5、小结与思考一、问题的引入问题:.,)(00的幂级数是否能表示为不解析在如果zzzzfnnnzzc)(.10双边幂级数负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001问题的引入nnnzzc)(00nnnzzc)(0110)(zz令nnnc1收敛半径收敛时,R101RRzz收敛域收敛半径2R20Rzz收敛域:)1(21RR若两收敛域无公共部分,:)2(21RR两收敛域有公共部分.201RzzRR问题的引入结论:的收敛区域为双边幂级数nnnzzc)(0.201RzzR圆环域1R2R.0z常见的特殊圆环域:2R.0z200Rzz1R.0z01zzR00zz.0z问题的引入:10内在圆环域z例如，10)1(1)(zzzzzf及在都不解析,但在圆环域10z及110z内都是解析的.)1(1)(zzzf而1,1112zzzzzn2、问题：在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?,111zz问题的引入所以)1(1)(zzzf,121nzzzz即在)(zf10z内可以展开成级数.内，在圆环域110z也可以展开成级数：)1(1)(zzzf1211(1)1(1)(1)(1)(1).nnzzzz211(1)(1)()(1)1nnzzzz111(1)zzz二、罗伦级数的概念讨论下列形式的级数：（4.4.1）其中，z0和cn(n=0,±1,±2,…)都是常数。把级数(4.4.1)分成两部分来考虑，即正幂项（包括常数项）部分：（4.4.2）与负幂项部分（4.4.3）罗伦级数级数(4.4.2)是一个通常的幂级数，它的收敛范围是一个圆域。设它的收敛半径为R2，那么当|z–z0|R2时，级数收敛；当|z–z0|R2时，级数发散。罗伦级数级数(4.4.3)是一个新型的级数。如果令ζ=(z–z0)-1，那么就得到（4.4.4）对变数ζ来说，级数(4.4.4)是一个通常的幂级数。设它的收敛半径为R，那么当|ζ|R时，级数收敛；当|ζ|R时，级数发散。因此，如果我们要判定级数(4.4.3)的收敛范围，只需把ζ用(z–z0)-1代回去就可以了，如果令1/R=R1，那么当且仅当|ζ|R时，|z–z0|R1；当且仅当|ζ|R时，|z–z0|R1。由此可知，级数(4.4.3)当|z–z0|R1时收敛；当|z–z0|R1时发散。罗伦级数规定：当且仅当级数(4.4.2)与(4.4.3)都收敛时，级数(4.4.1)收敛，并把级数(4.4.1)看这做级数(4.4.2)与(4.4.3)的和。因此，当时R1R2（如图(a)），级数(4.4.2)与(4.4.3)没有公共的收敛范围。所以，级数(4.4.1)处处发散；罗伦级数当R1R2时（如图(b)），级数(4.4.2)与(4.4.3)的共公收敛范围是圆环R1|z–z0|R2。所以，级数(4.4.1)在这圆环内收敛，在这圆环外发散。在圆环的边界|z–z0|=R1及|z–z0|=R2上可能有些点收敛，有些点发散。这就是说，级数(4.4.1)的收敛区域是圆环：R1|z–z0|R2。在特殊情形，圆环的内半径R1可能等于零，外半径R2可能是无穷大。罗伦级数幂级数在收敛圆内具有的许多性质，级数(4.4.1)在收敛圆环内也具有。例如，可以证明，级数(4.4.1)在收敛圆环内其和函数是解析的，而且可以逐项积分和逐项求导。由上节可知，在以为中心的圆域内解析的函数可用泰勒级数来表示。如果函数在以为中心的圆环内解析，那末它是否能用级数来表示呢？罗伦级数试先看下例。函数f(z)=1/(z(1–z))在z=0及z=1都不解析，但在圆环0|z|1及0|z–1|1内都是处处解析的。先研究在圆环：0|z|1内的情形。我们有f(z)=1/(z(1–z))=1/z+1/(1–z)上节[例4-2-1]中的，当|z|1时，有所以由此可见，f(z)在0|z|1内是可以展开为级数的。罗伦级数其次，在圆环：0|z–1|1内也可以展开为级数：从以上的讨论看来，函数f(z)=1/(z(1–z))是可以展开为级数的，不过这时的级数，含有负幂的项罢了。据此推想起来，在圆环域R1|z–z0|R2内处处解析的函数f(z)，可能展开形如(4.4.1)的级数。罗伦级数[定理4-4-1]设f(z)在圆环域R1|z–z0|R2内处处解析，那么其中，这里C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。,)()(0nnnzzczfcn为洛朗系数。[定理4-4-1][证明]设z为圆环域内的任一点，在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2，K2的半径R大于K1的半径r，且使z在K1与K2之间（如图）由柯西积分公式（第3章习题18）得对于上式右端第一个积分来说，积分变量ζ取在圆周K2上，点z在K2的内部，所以。[定理4-4-1]又由于|f(ζ)|在K2上连续，因此存在一个常数M，使得|f(ζ)|≤M。跟第3节中泰勒展开式的证明完全一祥，可以推得：应当指出，并不等于f(n)(z0)/n!，因为这时函数f(z)在K2内不是处处解析的。[定理4-4-1]再来考虑第2个积分。由于积分变量ζ取在K1上，点z在K1的外部，所以。因此就有[定理4-4-1]所以其中，[定理4-4-1]现在我们要证明在K1外部成立。令显然q是与积分变量ζ无关的量，而且0q1，因为z在K1的外部，由于|f(ζ)|在K1上连续，因此存在一个常数M1，使得|f(ζ)|≤M，于是有：[定理4-4-1]因为，所以，从而有综上所述，我们有其中，（4.4.5）（4.4.7）（4.4.6）[定理4-4-1]级数(4.4.5)的系数由不同的式子(4.4.6)与(4.4.7)表出。如果在圆环域内取绕z0的任何一条简单的闭曲线C，那末根据闭路变形定理，这两个式子可用一个式子来表示：（4.4.8）[证毕][定理4-4-1]说明函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.nnnzzczf)()(01)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.罗伦级数在许多应用中，往往需要把在某点z0不解析但在z0的邻域内解析的函数f(z)展开成级数，那末就利用罗伦级数来展开。象泰勒级数一样，罗伦级数在它的收敛圆环域内可逐项求导或积分。另外，一个在某一圆环内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的罗伦级数。级数(4.4.5)叫做函数f(z)在z0以为中心的圆环：R1|z–z0|R2内的罗伦（laurent）级数。罗伦级数事实上，假定f(z)在圆环域R1|z–z0|R2内不论用何种方法已展成了由正、负幂项组成的级数：，并设C为圆环域内任何一条正向简单闭曲线，ζ为C上任一点，那末以(ζ–z0)-p-1去乘上式两边，这里p为任一整数，并沿C的正向积分，得罗伦级数从而这就是(4.4.8)。三、函数的罗伦级数展开式罗伦展开式的系数cn用公式去计算是很繁重的。根据含正、负幂项级数的唯一性，我们可以用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法去展开，这样往往比较便利。常用方法:1.直接法2.间接法1、直接展开法利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(π2110nzficCnn然后写出.)()(0nnnzzczf缺点:计算往往很麻烦.2、间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导；在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分；在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析函数。级数展开举例[例4-4-1]函数f(z)=1/[(z–1)(z–2)]在圆环域（1）0|z|1；（2）1|z|2；（3）2|z|∞内是处处解析的。试把f(z)在这些域内展开成罗伦级数。[解]先把f(z)用部分分式来表示f(z)=1/(1–z)+1/(2–z)然后利用第2节[例4-2-1]的结果：[例4-4-1]（1）在0|z|1内（如图(a）），由于|z|1，从而|z/2|1。所以（4.4.9）（4.4.10）[例4-4-1]因此，我们有结果中不含有z的负幂项，原因在于f(z)=1/[(z–1)(z–2)]在z=0处是解析的。[例4-4-1]（2）在1|z|2（如图(b)）内，由于|z|1，所以(4.4.9)不成立，但此时|1/z|1，因此把1/(1–z)另行展开如下（4.4.11）并由于此时|z|2，从而|z/2|1。所以(4.4.10)仍然有效。因此我们有[例4-4-1]（3）在2|z|∞内（如图(c)），由于|z|2，所以(4.4.10)不成立，但此时|2/z|1，因此把1/(2–z)另行展开如下并因此时|1/z||2/z|1，所以(4.4.11)仍然有效。因此，我们有：级数展开举例[例4-4-2]把函数在0|z|∞内展开成罗伦级数。[解]函数在0|z|∞内是处处解析的。我们知道，ez在复平面被的展开式是而1/z在0|z|∞解析，所以把上式中的z代换成1/z，两边同时乘z3以，即得到所求的罗伦展开式[例4-4-2]级数展开举例[例4-4-3]求积分的值。[解]函数1/[z(z+1)(z+4)]在1|z|4内处处解析，把它在圆环域内展开成罗伦级数：[例4-4-3]所以)c–1=–1/12。由于z=3在圆环域1|z|4内，根据（4.3.5）有罗伦级数应当注意，给定了函数f(z)与平面内一点z0以后，由于这个函数可以在以z0为中心的（由奇点隔开）不同圆环域内解析，因而在各个不同的圆环域中有不同的罗伦展开式（包括泰勒展开式作为它的特例）。但不要把这种情形与罗伦展开式的唯一性相混淆。我们知道，所谓罗伦展开式的唯一性，是指函数在某一个给定的圆环域内的罗伦展开水展开式是唯一的。另外，，在展开式的收敛圆环域的内圆周上有f(z)的奇点，外圆周上也有f(z)的奇点，或者外圆周的半径为无穷大。罗伦级数例如函数有两个奇点z=0与z=–i，分别在以i为中心的圆周：|z–i|=1与|z–i|=2上（如图）。因此，f(z)在以i为中心的展开式有3个：（1）在|z–i|1中的泰勒展开式；（2）在1|z–i|2中的罗伦展开式；（3）在2|z–i|∞中的罗伦展开式。四、典型例题[例1],0内在z.)(2展开成洛朗级数将zezfz解,)(nnnzczf由定理知:d)()(π2110Cnnzficdπ213Cnei其中)2,1,0(,)0(:nzC[例1]3,n当时0nc3,znez在圆环域内解析故由柯西–古萨基本定理知:3,n当时由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1zznnezn)!2(1n2)!2()(nnnzzf故!4!3!211122zzzzz0dπ213Cnneic[例1]另解!4!3!21143222zzzzzzez!4!3!211122zzzz本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,.2的奇点也是函数zez典型例题[例2]:)2)(1(1)(在圆环域函数zzzf;10)1z;21)2