2015届高考数学(文、理)新一轮复习考点详细分类题库：考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线24yx的焦点到双曲线2213yx的渐近线的距离是（）（A）12（B）32（C）1（D）3【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B，由抛物线24yx的焦点(1,0)，双曲线2213yx的一条渐近线方程为30xy，根据点到直线的距离公式可得32d，故选B.2.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同抛物线C1：y=12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：2213xy的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A.316B.38C.233D.433【解题指南】本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值.【解析】选D.经过第一象限的双曲线的渐近线为33yx.抛物线的焦点为(0,)2pF,双曲线的右焦点为2(2,0)F.1'yxp，所以在200(,)2xMxp处的切线斜率为33，即0133xp，所以033xp，即三点(0,)2pF，2(2,0)F，3(,)36pMp共线，所以06220233pppp，即433p.二、填空题3.（2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线22xy133相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系，分析可知△ABF的高为P，可构造p的方程解决.【解析】由题意知△ABF的高为P，将py2代入双曲线方程得A，B两点的横坐标为2px34，因为△ABF为等边三角形，所以02ptan60p34，从而解得2p36，即p6.【答案】6.4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线ya=交抛物线2yx=于,AB两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为___________【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为ra=的圆，数形结合可得。【解析】联立直线ya=与抛物线2yx=得,xa=?，满足题设条件的点C的轨迹是以a（0，）为圆心，ra=为半径的圆，其方程为222+（）xyaa。由数形结合可知当r=a≤a时满足题设要求，解得a≥1。【答案】[1,+∞).三、解答题5.（2013·北京高考理科·Ｔ19）已知A、B、C是椭圆W：2214xy上的三个点，O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.【解题指南】（1）利用OB的垂直平分线求出AC的长，再求面积；（2）若是菱形，则OA=OC，A点与C点的横坐标相等或互为相反数。【解析】（1）线段OB的垂直平分线为1x，33(1,),(1,)22AC所以或33(1,),(1,)22AC所以，||3AC所以，所以菱形面积为12|OB|·|AC|=12×2×3=3.（2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.设OA=OC=r（r1)，则A、C为圆222xyr与椭圆22:14xWy的交点.22314xr，22313xr,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等，此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.6.（2013·江西高考文科·Ｔ20）椭圆C:2222xy1ab(ab0)的离心率3e2，a+b=3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值.【解题指南】（1）借助椭圆中222abc的关系及两个已知条件即可求解；（2）可以写出BP的直线方程，分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标，再利用DP与x轴表示点N的坐标，最终把m表示成k的形式，就可求出定值；另外也可设点P的坐标，把k与m都用点P的坐标来表示.【解析】(1)因为3ce2a，所以2ac3，又由222abc得1bc3，代入a+b=3，得c3,a2,b1.故椭圆C的方程为22xy14.(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为1yk(x2)(k0,k)2①，将①代入22xy14，解得P2228k24k(,)4k14k1.直线AD的方程为：1yx12.②联立①②解得M4k24k(,)2k12k1.由D（0,1），P2228k24k(,)4k14k1，N（x,0）三点共线可知2224k1014k18k2x004k1，即4k2x2k1，所以点4k2N(,0)2k1.所以MN的斜率为m224k04k(2k1)2k12k14k24k22(2k1)2(2k1)42k12k1,则2k112mkk22（定值）.方法二：设000P(x,y)(x0,2)，则00ykx2，直线AD的方程为1y(x2)2，直线BP的方程为00yy(x2)x2，直线DP的方程为00y1y1xx.令y=0，由于0y1，可得00xN(,0)y1.解001y(x2)2yy(x2)x2可得M00000004y2x44y(,)2yx22yx2，所以MN的斜率为0000022000000000004y02yx24y(y1)m4y2x4x4y8y4xyx42yx2y1=0002200000004y(y1)y14y8y4xy(44y)42yx2.故00000000000002(y1)y2(y1)(x2)y(2yx2)2mk2yx2x2(2yx2)(x2)22000000000000000012(y1)(x2)(4x)y(x2)2(y1)(x2)2yy(x2)2(2yx2)(x2)(2yx2)(x2)0000012(y1)(2x)y122yx22（定值）.7.（2013·广东高考文科·Ｔ20）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点(0,)Fc（0c）到直线l：20xy的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB,其中A,B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点00(,)Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求||||AFBF的最小值.【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.【解析】（1）因为(0,)Fc到直线l：20xy的距离为322，即22|02|3221(1)c，所以1c（注意0c），可得抛物线C的方程为24xy；（2）设切点1122(,),(,)AxyBxy，则2211224,4xyxy.对24xy（即214yx）求导可得12yx，切线PA的斜率为1011012yyxxx，将2114xy和002yx代入整理可得1010220yxxy①，同理切线PB的斜率为2022012yyxxx，将2224xy和002yx代入整理可得2020220yxxy②，由①②可得点1122(,),(,)AxyBxy都适合方程00220yxxy，也就是当点00(,)Pxy为直线l上的定点时，直线AB的方程即为00220yxxy.（3）由抛物线的性质可知1122(,),(,)AxyBxy到焦点(0,)Fc的距离等于到准线1y的距离，所以12||1,||1AFyBFy，121212||||(1)(1)1AFBFyyyyyy.联立方程0022204xxyyxy,消去x整理得22200020yyxyy，由一元二次方程根与系数的关系可得212002yyxy,2120yyy，所以2200021AFBFyxy.又002yx，则22220000001921225222yxyyyy，所以当012y时,AFBF取得最小值,且最小值为92.8.（2013·广东高考理科·Ｔ20）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点(0,)Fc（0c）到直线l：20xy的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB,其中A,B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点00(,)Pxy为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求||||AFBF的最小值.【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.【解析】（1）因为(0,)Fc到直线l：20xy的距离为322，即22|02|3221(1)c，所以1c（注意0c），可得抛物线C的方程为24xy；（2）设切点1122(,),(,)AxyBxy，则2211224,4xyxy.对24xy（即214yx）求导可得12yx，切线PA的斜率为1011012yyxxx，将2114xy和002yx代入整理可得1010220yxxy①，同理切线PB的斜率为2022012yyxxx，将2224xy和002yx代入整理可得2020220yxxy②，由①②可得点1122(,),(,)AxyBxy都适合方程00220yxxy，也就是当点00(,)Pxy为直线l上的定点时，直线AB的方程即为00220yxxy.（3）由抛物线的性质可知1122(,),(,)AxyBxy到焦点(0,)Fc的距离等于到准线1y的距离，所以12||1,||1AFyBFy，121212||||(1)(1)1AFBFyyyyyy.联立方程0022204xxyyxy,消去x整理得22200020yyxyy，由一元二次方程根与系数的关系可得212002yyxy,2120yyy，所以2200021AFBFyxy.又002yx，则22220000001921225222yxyyyy，所以当012y时,AFBF取得最小值,且最小值为92.9.（2013·重庆高考理科·Ｔ21）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率22e，过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于A、A两点，4AA．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P，过P、P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥PQ，求圆Q的标准方程．【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出Q点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆Q外且PQ⊥PQ求出圆的方程.【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为+=1(ab0),由题意知点)2,(cA在椭圆上,则.12)(2222bac从而.1422bc由22e，得,81422cb从而,161222cba故该椭圆的标准方程为.181622yx（Ⅱ）由椭圆的对称性,可设)0,(0xQ,又设),(yxM是椭圆上任意一点,则)4,4(8)2(21)161(82)(2020220022202xxxxxxxxxyxxQM.设),(