2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义：专题五 第三讲 高考中的圆锥曲线

第三讲高考中的圆锥曲线(解答题型)1．(2014·浙江高考)如图，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k0)，由y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为－a2kmb2＋a2k2，b2mb2＋a2k2.又点P在第一象限，故点P的坐标为P－a2kb2＋a2k2，b2b2＋a2k2.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝－a2kb2＋a2k2＋b2kb2＋a2k21＋k2，整理得d＝a2－b2b2＋a2＋a2k2＋b2k2，因为a2k2＋b2k2≥2ab，所以a2－b2b2＋a2＋a2k2＋b2k2≤a2－b2b2＋a2＋2ab＝a－b，当且仅当k2＝ba时等号成立．所以点P到直线l1的距离的最大值为a－b.2．(2014·山东高考)已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知Fp2，0.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为p＋2t4，0.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋p2＝t－p2，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由p＋2t4＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)①由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．故直线AB的斜率kAB＝－y02.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－y02x＋b，代入抛物线方程得y2＋8y0y－8by0＝0，由题意Δ＝64y20＋32by0＝0，得b＝－2y0.设E(xE，yE)，则yE＝－4y0，xE＝4y20.当y20≠4时，kAE＝yE－y0xE－x0＝－4y0＋y04y20－y204＝4y0y20－4，可得直线AE的方程为y－y0＝4y0y20－4(x－x0)，由y20＝4x0，整理可得y＝4y0y20－4(x－1)，直线AE恒过点F(1,0)．当y20＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)，所以直线AE过定点F(1,0)．②由①知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋1x0＋1＝x0＋1x0＋2.设直线AE的方程为x＝my＋1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝x0－1y0.设B(x1，y1)，直线AB的方程为y－y0＝－y02(x－x0)，由于y0≠0，可得x＝－2y0y＋2＋x0，代入抛物线方程得y2＋8y0y－8－4x0＝0.所以y0＋y1＝－8y0，可求得y1＝－y0－8y0，x1＝4x0＋x0＋4.所以点B到直线AE的距离为d＝4x0＋x0＋4＋my0＋8y0－11＋m2＝4x0＋1x0＝4x0＋1x0.则△ABE的面积S＝12×4x0＋1x0x0＋1x0＋2≥16，当且仅当1x0＝x0，即x0＝1时等号成立．所以△ABE的面积的最小值为16.1．圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．2．圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题．(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由．3．圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．4．定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点．(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点．5．定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．6．最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．第1课时圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题热点一圆锥曲线中的范围问题命题角度与圆锥曲线中范围有关的问题，通常是通过构造不等式求解．常见的命题角度有：(1)求满足条件的直线斜率范围；(2)求点的坐标范围；(3)求弦长或圆形面积的取值范围等.[例1]已知A、B、C是椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的三点，其中点A的坐标为(23，0)，BC过椭圆的中心，且∠OCA＝90°，|BC|＝2|AC|.(1)求椭圆M的方程；(2)过点(0，t)的直线(斜率存在)与椭圆M交于P、Q两点，设D为椭圆与y轴负半轴的交点，且|DP|＝|DQ|，求实数t的取值范围．[师生共研](1)∵|BC|＝2|AC|且BC过点(0,0)，则|OC|＝|AC|.∵∠OCA＝90°，∴C(3，3)．由题意知a＝23，则椭圆M的方程为x212＋y2b2＝1，将点C的坐标代入得312＋3b2＝1，解得b2＝4.∴椭圆M的方程为x212＋y24＝1.(2)由题意知D(0，－2)，设直线l的斜率为k，当k＝0时，显然－2t2；当k≠0时，设直线l：y＝kx＋t，联立x212＋y24＝1，y＝kx＋t，消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－12＝0，由Δ0可得，t24＋12k2.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为H(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3kt1＋3k2，y0＝kx0＋t＝t1＋3k2，∴H－3kt1＋3k2，t1＋3k2.∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即kDH＝－1k.∴t1＋3k2＋2－3kt1＋3k2－0＝－1k，化简得t＝1＋3k2，②由①②得，1t4.综上，t∈(－2,4)．解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．1．椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l1与椭圆交于S，T两点，与抛物线交于C，D两点，且|CD||ST|＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)若过点M(2,0)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一点，且满足(O为坐标原点)，当253时，求实数t的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c＝1，且|CD|＝4，|ST|＝2b2a，∴|CD||ST|＝2ab2＝22，又a2－b2＝1，∴a＝2，b＝1，∴椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－2)，联立x22＋y2＝1，y＝kx－2，消去y得，(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，由Δ0，得k212.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝－4k1＋2k2，则＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·8－16k21＋2k2253，∴k214或k2－1314(舍去)．②由①②得14k212，又AB的中点N4k21＋2k2，－2k1＋2k2，∴得P8k21＋2k2t，－4k1＋2k2t，代入椭圆方程得32k41＋2k22t2＋16k21＋2k22t2＝1，即t2＝32k4＋16k21＋2k22＝16k21＋2k2＝161k2＋2，∵14k212，∴83t24，即t∈263，2∪－2，－263.热点二圆锥曲线中的存在性问题命题角度存在性问题是近年来高考中对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数等是否存在为主要考查角度，多以解答题形式考查.[例2]已知抛物线P：y2＝4x的焦点为F，经过点H(4,0)作直线与抛物线P相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求y1y2的值；(2)是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．[师生共研](1)∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)，∴(x2－4，y2)．∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一条直线上，∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0.∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y2＝4x上，∴x1＝y214，x2＝y224，∴y214－4y2－y224－4y1＝0，即y1y24(y1－y2)＝－4(y1－y2)．根据已知得y1≠y2，∴y1y2＝－16.(2)存在．∵F是抛物线P的焦点，∴F(1,0)．设M(x，y)，则MF的中点为Nx＋12，y2，|MF|＝1＋x.∵直线x＝a与以MF为直径的圆相切的充要条件是Nx＋12，y2到直线x＝a的距离等于|MF|2，即x＋12－a＝1＋x2，∴ax＝a2－a.∵对于抛物线P上的任意一点M，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切，∴关于x的方程ax＝a2－a对任意的x≥0都要成立．∴a＝0，a2－a＝0，解得a＝0.∴存在常数a，并且仅有a＝0满足“当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切”．若(2)中相切改为相交呢？解：假设直线x＝a与以MF为直径的圆相交，则有x＋12－a＜x＋12，即0＜a＜x＋1对任意x≥0恒成立．因此，0＜a＜1.存在性问题的解题步骤2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为22，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于2.(1)求椭圆的方程；(2)过点M(0,2)作直线l与直线MF2垂直，试判断直线l与椭圆的位置关系；(3)直线y＝2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)∵点P在椭圆上，∴－b≤yp≤b，∴当|yp|＝b时，△PF1F2面积最大，且最大值为12|F1F2|·|yp|＝12·2c·b＝bc＝2，又