2015届高考数学(理科)一轮总复习课件：4-3 平面向量的数量积及平面向量的应用(人教A版)

抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[最新考纲展示]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．第三节平面向量的数量积及平面向量的应用抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）平面向量的数量积1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）(2)范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝.(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．0°≤θ≤180°0°180°90°a⊥b|a||b|·cosθ0|b|cosθ抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．两向量的夹角为锐角⇔cosθ0且cosθ≠1.3．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）1．(2014年武汉模拟)已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.π2B.2π3C.3π4D.5π6解析：a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a2|＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，故cos〈a，b〉＝－963＝－32，故所求夹角为5π6.答案：5π6抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）2．(2014年昆明模拟)已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是________．解析：依题意得(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝－3，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝3，即|a＋b|＝3，向量a－b在向量a＋b方向上的投影是a－b·a＋b|a＋b|＝－33＝－3.答案：－3抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）数量积的性质及运算律1．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．(2)a⊥b⇔.|a|cos〈a，e〉a·b＝0(3)a·a＝，|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.|a|2(5)|a·b||a||b|.2．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝.(2)分配律：(a＋b)·c＝.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝＝．≤b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________1．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|，而|cosθ|≤1.2．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.3．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）3.如图，在平面四边形ABCD中，若AB＝2，CD＝1，则(AC→＋DB→)·(AB→＋CD→)＝()A．－5B．0C．3D．5解析：(AC→＋DB→)·(AB→＋CD→)＝[(AB→＋BC→)＋(DC→＋CB→)]·(AB→＋CD→)＝(AB→＋CD→)·(AB→－CD→)＝AB→2－CD→2＝22－12＝3，故选C.答案：C抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）____________________[通关方略]____________________在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：A4．已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()A.13B．23C.15D．4解析：|a－b|2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋9－2×1×3×－12＝13，故|a－b|＝13.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）答案：B5．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.π2B.2π3C.3π4D.5π6解析：∵a⊥(a＋b)，∴a·(a＋b)＝0，即|a|2＋|a|·|b|cosθ＝0，∴1＋1×2cosθ＝0，∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3，故选B.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）平面向量数量积的运算【例1】(1)(2013年高考福建卷)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10(2)(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·BD→＝________.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[答案](1)C(2)2[解析](1)依题意得，AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC→⊥BD→，所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×5×20＝5.(2)选向量的基底为AB→，AD→，则BD→＝AD→－AB→，AE→＝AD→＋12AB→，那么AE→·BD→＝AD→＋12AB→·(AD→－AB→)＝2.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）解析：建立如图所示的平面直角坐标系．令E(t,0)(0≤t≤2)可得DE→·DC→＝(t，－2)·(2,0)＝t≤2，∴DE→·DC→的最大值为2.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结数量积的运算一是已知向量的坐标，利用坐标法；二是结合平面向量的线性运算将所求向量用已知向量线性表示，再计算数量积．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）平面向量的夹角与模【例2】(1)(2014年济南模拟)平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．10(2)(2013年高考江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)|a＋2b|＝a＋2b2＝22＋2×2a·b＋4×12＝23.(2)依题意得|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝12，所以|a|＝1＋6×12＋9＝13，|b|＝2，所以向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝2＋6×122＝52.[答案](1)B(2)52抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结1．当a·b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)则|a|＝x2＋y2.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练1．已知a，b都是单位向量，且|a＋b|≥1，则a，b的夹角θ的取值范围是________．解析：∵|a＋b|≥1，∴(a＋b)2≥1，即a2＋b2＋2a·b≥1，∵a，b都是单位向量，∴1＋1＋2cosθ≥1，∴cosθ≥－12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈0，2π3.答案：0，2π3抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）数量积研究垂直问题及应用【例3】(2013年高考江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0βαπ.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）[解析](1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以cosα＋cosβ＝0，sinα＋sinβ＝1，由此得，cosα＝cos(π－β)，由0βπ，得0π－βπ，又0απ，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，sinα＝sinβ＝12，而αβ，所以α＝5π6，β＝π6.抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）反思总结1．利用数量积研究垂直时注意给出的形式：(1)可用定义式a·b＝0⇔|a||b|cosθ＝0；(2)可用坐标式a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解．抓主干考点解密菜单悟典题能力提升研考向要点探究隐藏提素能高效训练高考总复习A数学（理）变式训练2．(2014年荆州模拟)已知锐角三角形ABC中的内角为A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m＝(2sinB，3)，n＝2cos2B2－1，cos2B，且m⊥n.(1)求f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；(2)如果b＝4，求△ABC面积的最大值．解析：∵m⊥n，∴m·n＝2sinBcosB＋3cos2B＝sin2B＋3cos2B＝