几何学新方法的开创与几何学的大革命

第十一章几何学新方法的开创与几何学的大革命一种新的数学方法引入数学，往往会产生一种新的数学分支。在几何中新的数学方法，便产生了一系列的几何学的新分支。笛卡儿和费玛把代数方法引入几何。创立了解析几何；笛沙格、帕斯卡、彭色列把射影变换引入几何，开创了射影几何学；欧拉、蒙日将微积分方法引入几何，创建了微分几何学。但是上述方法的创新、对象的扩大，而思想体系仍然是属于传统的欧氏几何。在几何学的发展过程中，由于人们对平行公设的否定，突破了传统的欧氏几何，创立了非欧几何，成了几何学上的一场大革命。§1、射影几何学•射影几何学起源于绘画的透视。这甚至可以以上溯到远古时代。•欧洲文艺复兴时期透视学的蓬勃发展，给射影几何的成长准备了良好的条件。•射影几何真正的创立是在17世纪，它最早的奠基人是法国的两位数学家笛沙格和帕斯卡。笛沙格•1591年生于法国里昂，1661年卒于同地。笛沙格曾在法国军队当过军官，以后在巴黎公开讲学，又当过建筑师和工程师。他自学成才，对透视学极有研究。笛沙格的学术成就及影响•1636年他在巴黎出版了《用透视法表示对象的一般方法》一书，这是射影几何学的第一本著作，在这本书中，笛沙格已引入了无穷远点、无穷远线、交比、对合等射影几何的许多概念。•笛卡儿、费玛、帕斯卡等对此都极为推崇。“帕斯卡曾一度把笛沙格看作是他的大部分灵感的来源”。帕斯卡•1623年6月19日生于法国中部克勒蒙菲朗，1662年8月19日卒于巴黎。他12岁就发现了三角形内角和定理，16岁就发现了射影几何的一个出色定理—帕斯卡六边形定理。他从这个定理出发，导出了400条以上的推论，对射影几何做出了重要贡献。帕斯卡遗事•帕斯卡终生为病魔所缠，失眠症和牙痛症经常骚扰他的安宁．1658年某夜，难以忍受的牙疼折磨着帕斯卡，使他彻夜不能入睡。一气之下，帕斯卡奋起工作，竭力思索摆线的道理。说也奇怪，竟使他忘却了痛苦。于是穷八昼夜之功，完成了《摆线论》的名著，解决了许多摆线问题。这对年青的莱布尼茨有很大的影响。•25岁时，当他正享有科学家的盛誉，竟突然决定放弃这些科学研究，献身于哲学和宗教。这种难以理解的行动，不能不是科学的极大损失。彭色列（1788.7.1-1867.12.23）•彭色列是蒙日的学生•生于法国梅斯,卒于巴黎•在巴黎理工科大学学习,1812年参加军队,远征莫斯科,惨败。1813年被投进监狱，在狱中，他潜心研究图形经过投影后不变的性质，进而开辟了新的几何领域。1814年6月出狱后，将狱中心得整理，于1822年完成巨著《论投影的性质》，形成了系统的理论，使射影几何成为数学的一个新的分支。射影几何学的发展•在彭色列之后，斯坦纳推进了射影几何的综合的发展，他1832年出版了《几何形的相互依赖性的系统发展》；•查斯纳斯继承了彭色列和斯坦纳的工作，弄清了“交比”的含义，引进了“非调和比”（即交比）、“单应”、“对射”等概念，给出了查斯纳斯定理；•此后，梅比乌斯（A.F.Mobius,1790-1868,德）、普吕克引进了齐次坐标，开创了代数的射影几何，使彭色列的射影几何推到一个新的高度。§2、微分几何•微分几何是以微积分为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学。•微分几何在很大程度上是微积分和微分方程的自然产物。其基本内容是采用无穷小的方法来研究曲线和曲面的性质。“微分几何”这一术语是比安基（L.Bianchi,1856-1928）在1894年第一次使用的。•克莱罗1731年出版的《关于双重曲线的研究》可以看作微分几何的开端。微分几何的发展（１）•克莱罗在1731年出版的《关于双重曲线的研究》中，论述了空间曲线（他称为“双重曲率曲线”）的基本问题，研究了它的切线和法线，空间曲线弧长的表达及某些曲线的求积公式。克莱罗又译克莱洛，法国数学家、力学家。1713年5月7日生于巴黎,1765年5月17日卒于同地。9岁时,父亲就教他学习解析几何和微积分学,16岁被选入法国科学院,其后参与了支持I.牛顿学说的活动。他提出随纬度变化的地球重力公式(现称克莱罗公式，1743)。他在研究天体力学三体问题时,第一个给出了这个问题的近似解(1752～1754)。1705年,E.哈雷曾预测哈雷彗星将在1758或1759年出现。克莱罗于1758年提前半年相当精确地计算了哈雷彗星到达近日点的日期，为此获彼得堡科学院的奖。他原想再进行许多天体力学的计算，但因病逝而未如愿。克莱罗是最早研究二重曲率曲线的人之一，他还研究了曲面平面截线。他的极大极小的某些问题(1733)是变分法历史上的第一篇重要论著。他在1734年建立了克莱罗微分方程。1739～1740年间证明了混合二阶偏导数的求导次序的可交换条件，还证明了一阶线性微分方程的积分因子的存在性问题。他在力学方面的工作还包括单摆振动等时性的证明和对运动中物体的动力学和相对运动的研究。微分几何的发展（2）•微分几何发展的第二个重大步骤是由欧拉给出的。欧拉给出了扭曲线理论的完整论述；他用参数方程x=x(s),y=y(s),z=z(s)表示空间曲线；他引进了球面指标线，给出了曲率半径的定义；他还给出了曲面上测地线的微分方程。1760年，在他的《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论，这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史中的里程碑。得到欧拉定理，即截线的曲率x=x1cos2+x2sin2．欧拉微分几何的发展（３）•微分几何发展的第三个重大步骤是由蒙日来实现的。•蒙日是画法几何的创始人，且对彭色列创立射影几何有重大影响，另外，他还是偏微分方程的几何理论的奠基者．•蒙日在1809年发表了《分析在几何上的应用》，该书除对空间解析几何做了系统研究外，基本上形成了微分几何的雏形。蒙日在三维微分几何方面所开创的结果远远超过欧拉，而且在微分几何的应用上有杰出的贡献。“尺有所短，寸有所长”蒙日（1746.5.10-1818.7.28）•蒙日,法国数学家。出生于博恩。•其父是农民兼经小商。蒙日兄弟三人都受到良好的教育，后来都成为数学教授。•1784年热情地参加了法国革命，担任过革命政府的海军部长。在波旁王朝复辟后，受到残酷迫害，被开除出科学院并剥夺了养老金。1818年忧郁重重而与世长辞。微分几何的发展（4）•微分几何发展的第四个重大步骤是由高斯做出的。1827年，他在《关于曲面的一般研究》中，对三维空间中曲面的微分几何做出了决定性的论述，完善了曲面微分几何的理论与方法，更为重要的是高斯提出了一个全新的概念，即一张曲面本身就是一个空间，这个概念嗣后为黎曼所推广，从而在非欧几何中开辟了新的前景。高斯（1777.4.30-1855.2.23）•1827年著述的《关于曲面的一般研究》一书，其中对曲面论的研究是近代微分几何的开端。达布的贡献•达布•达布（1842～1917）Darboux，Jean-Gaston法国数学家。1842年8月14日生于尼姆，1917年2月23日卒于巴黎。1861年考入巴黎高等师范学校，1864年毕业，1866年取得博士学位。1867年在中学任教，1872年在巴黎高等师范学校任教，1881年4月任巴黎大学理学院高等几何学教授，1889～1903年任理学院院长，后任名誉院长。1872年创办《数学科学通报》。1884年当选为法国科学院院士，1900年任科学院几何学部终身秘书。达布的主要贡献是曲面的微分几何学。他早年研究三重正交系理论，后研究测地线、曲面的可映射性及曲面变形。他发展了活动标架法，使它成为以后的重要研究手段。他的主要成就总结于《曲面一般理论讲义》（4卷）和《正交系讲义》之中。他对微分几何学的研究也导致一些偏微分方程和理论力学的结果。在一阶偏微分方程的奇解理论上和黎曼积分理论的发展上也作出重大贡献。以达布命名的概念及定理达布积分达布函数辛拓扑中的达布定理实分析中的达布定理，和中值定理相关克里斯托费尔－达布恒等式克里斯托费尔－达布公式达布公式达布向量欧拉－达布方程欧拉－泊松－达布方程达布三次式达布或者Goursat问题•达布在1887-1896年间完成4卷巨著《曲面的一般理论》，该书集曲线和曲面微分几何之大成，成为一本相当全面的微分几何著作。由于出自对数学分析和微分方程掌握得极为娴熟的学者之手，这部著作把微分几何与微分方程以及力学紧密地联系在一起。对现代微分几何发展有影响的数学家•法国的埃.嘉当，他于1932年提出的一般联络理论，是纤维丛概念的开端，他还是微分几何这一学科中利用外微分形式和活动标形法的首创者。•美国数学家莫尔斯与1934年创造的大范围变分理论，为微分几何提供了新的有效工具。§3、非欧几何—几何史上的一场大革命•从公元前300年至公元1800年，人们一直认为，欧氏几何物理空间的正确的理想化的学说，但是在这两千年中人们对第五公设（又称欧氏平行公理）的怀疑也一直存在着。为了去掉“瑕疵”，从公元五世纪以来，不少人终生为之奋斗，甚至连一些数学造诣深邃的数学家，如瓦里斯、达朗贝尔、拉哥朗日、勒让德等也加入了这一行列，但是最终，他们得到一些与第五公设等价的命题外，再未取得新的成果，打开新的局面。一个等价命题的证明：如果任意三角形内角和都等于π，那么过线a外一点A只能引进一条直线与a不交。[证明]过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b，则a与b必定不交。假如另有一条直线AC与a不交，记锐角∠BAC为－，在直线a上取点B1，使B1、C在AB同侧，且使∠AB1B=α＜。按假设，直角△ABB1内角和等于π，所以∠B1AB=－a＞∠CAB=－，（因为α＜）。于是，作得一个△ABB1,而直线AC经过其内部，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不相交的假设矛盾222非欧几何学的先兆从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯里（1667~1733）于1733年第一次发表了其极具特色的成果。德国数学家兰伯特也得到相同结果。离开了求证第五公设的目标，朝向创造非欧几何的目标靠拢，但是，他们没有认识到欧几里得几何并不是在经验可证实的范围内描述物质空间性质的唯一几何。“而只是说第五公设是不能证明的”。几何学上的一场大革命（1）•掀起几何学上的一场大革命并创立了非欧几何的是高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基。•第一个给欧氏公设以正确评价的是高斯。1792年他已经有了非欧几何的思想，这思想包括两个内容：一是除欧氏几何外存在一个无逻辑矛盾的几何；二是在这几何中第五公设不成立。1799年，他再次强调第五公设在欧氏几何中无法证明，并认真开发新几何的内容。从1813年起，高斯先后称他所设想的几何为：“反欧氏几何”、“星际几何”、“非欧几何”等。•但是高斯治学严谨、工作力求完美、简明、严密，他谨慎地隐藏了自己的研究，惟恐这种新几何在直观上的“荒诞”而遭人耻笑，因而很少发表。高斯•高斯是19世纪的数学明星，与阿基米德、牛顿并列为数学史上的三大数学家，这位昔日神童的数学业绩遍及整个数学王国，后人感叹说：“高斯是能通晓整个时代全部数学的最后一个人。”几何学上的一场大革命（2）•从时间上说，紧接高斯之后提出非欧几何设想的是匈牙利的数学家鲍耶。鲍耶（J.Bolyai,1802-1860）•鲍耶自幼勤奋好学，13岁就掌握了微积分，并把它应用到力学上去。他的父亲是高斯的挚友，是终身从事证明“第五公设”而无所收获的数学家，曾劝儿子“不要再作克服平行公设的尝试”，以免剥夺儿子“生活中的一切时间、健康、休息和幸福”，但是小鲍耶未听劝告，仍然不懈地研究“第五公设”。•他的非欧几何思想产生于1820年，这时他才18岁。1823年已发展到相当完善的地步，他大胆地从“三角形之内角和小于1800”出发，建立了一套完整协调、天衣无缝的新几何体系。其父将其成果信告高斯，过分小心的高斯既不敢发表自己的成果，也不敢对小鲍耶给以满腔热情的支持，致使小鲍耶非常灰心，发誓永远不再研究数学。•直到1832年，小鲍耶的所谓“绝对几何学”才作为他父亲一本著作的“附录”问世，但这已经太晚了，1826年罗巴切夫斯基已开始发表这方面的论文。几何学上的一场大革命（3）•1826年2月11日罗巴切夫斯基