2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.6 抛物线

-1-§9.6双曲线1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)[知识拓展]巧设双曲线方程-2-(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.2．设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1答案C解析渐近线方程可化为y＝±32x.∵双曲线的焦点在x轴上，∴9a2＝±322，解得a＝±2.由题意知a0，∴a＝2.3．(2013·福建)双曲线x24－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.25B.45C.255D.455-3-答案C解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线y＝±12x的距离d＝25＝255.4．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与双曲线C2：x24－y216＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________.答案12解析与双曲线x24－y216＝1有相同渐近线的双曲线的方程可设为x24－y216＝λ，即x24λ－y216λ＝1.由题意知c＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a2＝1，b2＝4.又a0，b0，故a＝1，b＝2.5．(2014·北京)设双曲线C的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．答案x2－y2＝1解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________．(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．思维点拨解(2)时，考虑定义法．答案(1)y22－x24＝1(2)x2－y28＝1(x≤－1)解析(1)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点M(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2.所以双曲线方程为y22－x24＝1.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.-4-根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．(1)(2014·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝1(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1答案(1)A(2)A解析(1)双曲线的渐近线方程为y＝±bax，因为一条渐近线与直线y＝2x＋10平行，所以ba＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0.所以c＝5.由ba＝2，c＝a2＋b2＝5得a2＝5，b2＝20.-5-故双曲线方程为x25－y220＝1.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013·浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62(2)(2014·广东)若实数k满足0k9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等思维点拨(1)依题意可求出a、c的值．(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可．答案(1)D(2)A解析(1)|F1F2|＝23.设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，即(2－a)2＋(2＋a)2＝(23)2，∴a＝2，∴e＝ca＝32＝62.故选D.(2)因为0k9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x225－y29－k＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k，焦距为225＋9－k＝234－k，离心率为34－k5.双曲线x225－k－y29＝1的实半轴长为25－k，虚半轴长为3，焦距为225－k＋9＝234－k，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.-6-思维升华(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．(2)方程x2a1－y2b1＝1与x2a2－y2b2＝1，当a1＋b1＝a2＋b2时焦距相等．当a1b1＝a2b2时渐近线相同．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线为x2a2－y2b2＝0.(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x(2)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若FB→＝2FA→，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.5答案(1)C(2)C解析(1)由e＝ca＝52知，a＝2k，c＝5k(k∈R＋)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.所以ba＝12.即渐近线方程为y＝±12x.故选C.(2)如图，∵FB→＝2FA→，∴A为线段BF的中点，∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，∴ba＝tan60°＝3，∴e2＝1＋(ba)2＝4，∴e＝2.题型三直线与双曲线的位置关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，-7-则方程组x2－y2＝1，y＝kx－1有两个不同的实数根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴1－k2≠0，Δ＝4k2＋81－k20，解得－2k2且k≠±1.双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∴x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2.当A，B在双曲线的一支上且|x1||x2|时，S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝12(|x1|－|x2|)＝12|x1－x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝12(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|.∴S△OAB＝12|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝(22)2，即(－2k1－k2)2＋81－k2＝8，解得k＝0或k＝±62.又∵－2k2，且k≠±1，∴当k＝0或k＝±62时，△AOB的面积为2.思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23.-8-(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．解(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由已知得：a＝3，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴双曲线C的方程为x23－y2＝1.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得，(1－3k2)x2－62kx－9＝0.由题意知1－3k2≠