【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-11-2圆锥曲线与方程第三章3．4生活中的优化问题举例第三章典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1自主预习学案1.了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．2．能利用导数求出某些特殊问题的最值.重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.思维导航1．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小，利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，这些问题通常通称为优化问题，解决这些问题的基本思路、途径、过程是什么？优化问题新知导学1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点．3．解决优化问题的基本思路：自变量最优牛刀小试1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C[解析]∵y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x0)．令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评]利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的符号才能确定．2．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝400x－12x20≤x≤40080000x400，则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300[答案]D[解析]由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－200000≤x≤40060000－100xx400，P′＝300－x0≤x≤400－100x400，令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.3VB．32VC.34VD．23V[答案]C[解析]如图，设底面边长为x(x0)，则底面积S＝34x2，∴h＝VS＝4V3x2.S表＝x·4V3x2×3＋34x2×2＝43Vx＋32x2，S′表＝3x－43Vx2，令S′表＝0得x＝34V，因为S表只有一个极值，故x＝34V为最小值点．4．在周长为l的矩形中，面积的最大值为________．[答案]l216[解析]设一边长为x，则另一边长为12(l－2x)，其面积S＝12x(l－2x)(0xl2)，由S′＝12l－2x＝0得x＝l4，此时S＝l216.典例探究学案面积、容积最大问题有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？[解析]设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)2x,0xa2.即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0xa2.实际问题归结为求V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．在开区间0，a2内，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝16a，x2＝12a(舍去)．x1＝16a在区间0，a2内，x1可能是极值点．且当0xx1时，V′(x)0；当x1xa2时，V′(x)0.因此x1是极大值点，且在区间0，a2内，x1是唯一的极值点，所以x＝16a是V(x)的最大值点．即当截下的小正方形边长为16a时，容积最大．[方法规律总结]1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．其基本流程是2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．[解析]如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值．设AD＝2x(0x2)，则A(x,0)，AB＝y＝4－x2，∴矩形面积为S＝2x(4－x2)(0x2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝23，x2＝－23(舍去)．当0x23时，S′0；当23x2时，S′0，所以，当x＝23时，S取得最大值，此时S最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83、433时，矩形的面积最大.利润最大问题某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；(2)若年销售量关于x的函数为y＝3240×－x2＋2x＋53，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？[解析](1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润为：p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0x1)．(2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×－x2＋2x＋53＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，令f′(x)＝0.所以x＝59或x＝3(舍)．当0x59时f′(x)0，当59x1时f′(x)0，所以x＝59时f(x)有最大值f59＝20000.所以当x＝59时，本年度的年利润最大，最大年利润为20000万元．[方法规律总结]利润最大，效率最高等实际问题，关键是弄清问题的实际背景，将实际问题用函数关系表达，再求解．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？[解析](1)由意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝3x4x＋32，当每天x件时，有x·3x4x＋32件次品，有x1－3x4x＋32件正品．所以T＝200x1－3x4x＋32－100x·3x4x＋32＝25·64x－x2x＋8(x∈N＋)．(2)T′＝－25·x＋32·x－16x＋82，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利.费用(用料)最省问题有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[分析]设出CD的长为x，进而求出AC，BC，然后将总费用表示为变量x的函数，转化为求函数的最值问题．[解析]如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点xkm.因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x.所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，则y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0x50)．所以y′＝－3a＋5axx2＋40.令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．当x30时，y′0；当x30时，y′0.所以当x＝30时，取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案]16m8m[解析]解：设场地宽为xm，则长为128xm，因此新墙总长度为y＝2x＋128x(x＞0)，y′＝2－128x2，令y′＝0，∵x0，∴x＝8.因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省.含参数的函数求最值时，注意极值与参数取值的关系甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？[错解](1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为y＝a·sv＋bv2·sv＝sav＋bv，所求函数及其定义域为y＝sav＋bv，v∈(0，c]．(2)由题意知s、a、b、v均为正数，由y′＝sb－av2＝0得v＝±ab，又0v≤c，所以当v＝abb时，全程运输成本y最小．[辨析]第(2)问中abb与c未进行比较大小而直接得出结论，故错误．[正解]①若abb≤c，则v＝abb是使y的导数为0的点，且当v∈0，ab时，y′≤0；v∈ab，c时，y′≥0.所以当v＝abb时，全程运输成本y最小．②若abbc，v∈(0，c]，此时y′0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小．当abb≤c时，行驶速度v＝abb；当abbc时，行驶速度v＝c.