【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1课件：2.2.1椭圆及其标准方程

第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程．3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导，培养观察、分析、探索能力和数形结合、等价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何问题的能力．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．难点：椭圆标准方程的建立和推导．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1新知导学1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为______________________________．也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2．平面内与两个定点F1、F2的距离的_______等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的______，________间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为__________，当常数小于|F1F2|时，轨迹________．连结这两点的线段的垂直平分线和焦点两焦点线段|F1F2|不存在第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．椭圆的标准方程思维导航第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c，常数为2a？为何令a2－c2＝b2，在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式整齐而便于记忆．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-13．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．4．椭圆的标准方程，参数a、b(ab0)有什么意义？方程x2a2＋y2b2＝1与y2a2＋x2b2＝1有何不同？a、b、c满足什么关系？第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a、b、c的关系如图．当ab0时，方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，方程y2a2＋x2b2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1椭圆的定义及有关概念(1)椭圆x225＋y216＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为()A．4B．6C．8D．2(2)方程x22m－y2m－1＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[答案](1)B(2)13m1[分析](1)中，根据椭圆方程求出a，利用椭圆定义求点M到另一个焦点的距离．(2)焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，故应先将方程化为标准形式，再考虑符号．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析](1)设椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令|MF1|＝4，由|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，得|MF2|＝10－|MF1|＝10－4＝6，故选B.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(2)将方程化为x22m＋y21－m＝1，由题意得2m01－m02m1－m，解之得13m1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[方法规律总结]1.由椭圆的标准方程可求a、b、c的值，进而可求焦点坐标等．2．椭圆标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在那个轴上，求参数值或取值范围时，应分清焦点在哪个轴上列不等式．3．当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，可考虑利用定义求解．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(3)如图，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a＝10，∴△PQF1的周长等于|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝4a＝20.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[点评]形如Ax2＋By2＝C的方程中，只要A、B、C同号且A≠B，就是椭圆方程，解决此类问题时应先将方程化为标准形式x2CA＋y2CB＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析](1)∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为：y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵2a＝26，∴a＝13，又c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.∴所求椭圆方程为：y2169＋x2144＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1，∵焦点在x轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，又椭圆经过点P(1，32)，∴1b2＋1＋94b2＝1，解之得b2＝3，∴a2＝4.∴椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[方法规律总结]1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤：(1)定位，确定焦点在哪个轴上；(2)定量，依据条件及a2＝b2＋c2确定a、b、c的值；(3)写出标准方程．2．求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0)．再根据条件确定m、n的值．3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0)．将点的坐标代入解方程组求得系数．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过两点A(0,2)，B(12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析](1)设所求椭圆的方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0，且m≠n)，∵椭圆过A(0,2)，B12，3.∴0m＋4n＝1，14m＋3n＝1，解得m＝1，n＝4.即所求椭圆方程为x2＋y24＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x2m＋y2m＋5＝1(m0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m＋9m＋5＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求椭圆的方程为x210＋y215＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1定义法解决轨迹问题已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．[分析]根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，由于A点的坐标为(－3,0)，B点的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[方法规律总结]如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[答案]x264＋y248＝1第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为x264＋y248＝1.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积．[解题思路探究]第一步，审题．审条件挖解题信息：P在椭圆上，F1、F2为焦点，可利用椭圆定义；∠F1PF2已知，可解△F1PF2；审结论确定解题方向，求△F1PF2的面积，需探索依据条件选取怎样的公式求面积．椭圆的焦点三角形第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第二步，建联系，确定解题步骤．由条件可知求△F1PF2的面积可用正弦定理S＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，先依据定义和余弦定理，将|PF1|、|PF2|用a、b、θ表示，再求面积．第三步，规范解答．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理得，第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2，即4a2－4c2＝2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2·sinθ1＋cosθ＝b2tanθ2.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[方法规律总结]1.椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的△PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用椭圆的定义，又可运用正、余弦定理，还可运用整体思想将|PF1|、|PF2|作为整体来处理．第二章2.