点差法习题(有答案)

点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11yxA、),(22yxB，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、自主证明1、定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.2、定理在双曲线12222byax（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.同理可证，在双曲线12222bxay（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.3、定理在抛物线)0(22mmxy中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则mykMN0.例1设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足)(21OBOAOP，点N的坐标为21,21.当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最大值和最小值.例2已知双曲线13:22xyC，过点)1,2(P作直线l交双曲线C于A、B两点.（1）求弦AB的中点M的轨迹；（2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.例3抛物线xy42的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A.12xyB.)1(22xyC.212xyD.122xy1.已知椭圆4222yx，则以)1,1(为中点的弦的长度为（）A.23B.32C.330D.2632.已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F，直线1xy与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为32，则此双曲线的方程为（）A.14322yxB.13422yxC.12522yxD.15222yx3.已知直线02yx与抛物线xy42交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________.【规律总结】同理可证，在抛物线)0(22mmyx中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则mxkMN01.一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。例2、已知双曲线1222yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。例4、已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。)235235(0xyx三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422yx，试确定的m取值范围，使得对于直线mxy4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。答案例1.解：设直线与椭圆的交点为),(11yxA、),(22yxB)1,2(M为AB的中点421xx221yy又A、B两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx于是0))((4))((21212121yyyyxxxx21244)(421212121yyxxxxyy即21ABk，故所求直线的方程为)2(211xy，即042yx。例2.解：设存在被点M平分的弦AB，且),(11yxA、),(22yxB则221xx，221yy122121yx，122222yx两式相减，得0))((21))((21212121yyyyxxxx22121xxyykAB故直线)1(21:xyAB由12)1(2122yxxy消去y，得03422xx08324)4(2这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。例3.解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210x12021xxx，0212yyy又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(221210xxyyy0212123yxxyy32121xxyyk3230y，即210y点M的坐标为)21,21(。例4.解：设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(yxM，则xxx221，yyy221又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(2121xxxyyy，即yxxxyy3212132121xxyyk33yx，即0yx由12575022xyyx，得)235,235(P)235,235(Q点M在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为例5.解：设椭圆的方程为12222bxay，则5022ba┅┅①设弦端点),(11yxP、),(22yxQ，弦PQ的中点),(00yxM，则210x，212300xy12021xxx，12021yyy又1221221bxay，1222222bxay两式相减得0))(())((2121221212xxxxayyyyb即0)()(212212xxayyb222121baxxyy322ba┅┅②联立①②解得752a，252b所求椭圆的方程是1257522xy例6.解：设),(111yxP，),(222yxP为椭圆上关于直线mxy4的对称两点，),(yxP为弦21PP的中点，则12432121yx，12432222yx两式相减得，0)(4)(322212221yyxx即0))((4))((321212121yyyyxxxxxxx221，yyy221，412121xxyyxy3这就是弦21PP中点P轨迹方程。它与直线mxy4的交点必须在椭圆内联立mxyxy43，得mymx3则必须满足22433xy，即22433)3(mm，解得1313213132m