【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4三角恒等变换第三章3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式高效课堂2课时作业4优效预习1当堂检测3优效预习1．cos(α±β)＝________；sin(α±β)＝__________；tan(α±β)＝________.●知识衔接[答案]cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．sin21°cos39°＋cos21°sin39°等于()A．22B．12C．32D．1[答案]C3．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2B．1C．12D．4[答案]C4．若α、β是同一象限的角，且sinα＝－13，cosβ＝74.则sin(α－β)＝________.[答案]62－712二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表●自主预习三角函数公式简记正弦sin2α＝__________S(α＋β)S2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝__________＝__________C(α＋β)C2α正切tan2α＝__________T(α＋β)T2α2sinαcosα2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α[总结]对倍角公式的理解：①成立的条件：在公式S2α、C2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ2＋π4(k∈Z)时才成立．②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、α是α2的二倍、3α是3α2的二倍等等都是适用的．[拓展]倍角公式的变形公式剖析：(1)公式的逆用：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α；cosα＝sin2α2sinα；cos2α－sin2α＝cos2α；2tanα1－tan2α＝tan2α.(2)公式的有关变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.(3)升幂和降幂公式升幂公式：1＋sinα＝sinα2＋cosα22；1－sinα＝sinα2－cosα22；1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.●预习自测1．已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A．75B．125C．1225D．2425[答案]D[解析]sin2α＝2sinαcosα＝2425.2．已知cosα＝13，则cos2α等于()A．13B．23C．－79D．79[答案]C[解析]cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.3．若tanα＝12，则tan2α＝()A．43B．34C．15D．－43[答案]A[解析]tan2α＝2tanα1－tan2α＝11－14＝43.4．函数y＝sin2x的最小正周期为()A．2πB．πC．3πD．4π[答案]B[解析]y＝sin2x＝1－cos2x2＝12－12cos2xT＝2π2＝π.高效课堂给角求值●互动探究求下列各式的值；(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°40°cos80°.[探究]观察角的特点→寻求角的联系→选择公式→化简求值[解析](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·sin80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.[规律总结]解决此类问题的关键是利用非特殊角与特殊角间的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．计算：tan12°－34cos212°－2sin12°.[解析]原式＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝212sin12°－32cos12°cos24°·sin24°＝2sin12°－60°12sin48°＝－4.给值求值若cos(π4－x)＝－45，5π4x7π4，且x≠32π.求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．[解析]sin2x－2sin2x1＋tanx＝2sinxcosx－sinxcosxcosx＋sinx＝sin2xcosx－sinxcosx＋sinx＝sin2x1－tanx1＋tanx＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos2(π4－x)－1]tan(π4－x)，∵5π4x7π4，∴－3π2π4－x－π，又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.已知sinα＋cosα＝13，且0απ，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析]由sinα＋cosα＝13，得(sinα＋cosα)2＝19，即1＋2sinαcosα＝19，∴sin2α＝2sinαcosα＝－89.由sinα＋cosα＝13，得cosα＝13－sinα.∴cos2α＝(13－sinα)2.即1－sin2α＝19－23sinα＋sin2α.整理得9sin2α－3sinα－4＝0.解得sinα＝1＋176或sinα＝1－176(舍去)．∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(1＋176)2＝－179.∴tan2α＝sin2αcos2α＝81717.[点评]解题过程中注意角α的范围的判定．用倍角公式证明三角恒等式求证：1＋sin4θ－cos4θ2tanθ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan2θ.[探究]待证式子两边都较复杂，且角出现四倍角和单角，若直接证明较复杂，可将要证式子变形，发现2tanθ1－tan2θ＝tan2θ，所以只要证明式子1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)即可．[证明]原式变形为1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①而①式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝sin2θcos2θ(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．求证：(1)1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ；(2)sin2θ＋sinθ2cos2θ＋2sin2θ＋cosθ＝tanθ.[证明](1)左边＝1＋2sinθcosθ－1－2sin2θ1＋2sinθcosθ＋2cos2θ－1＝2sinθcosθ＋sinθ2cosθsinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝tanθ＝右边，所以原式成立．(2)左边＝2sinθcosθ＋sinθ2cos2θ－sin2θ＋2sin2θ＋cosθ＝sinθ2cosθ＋1cosθ2cosθ＋1＝sinθcosθ＝tanθ＝右边，所以原式成立．●探索延拓二倍角公式与向量、函数的综合问题已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·B．(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f(θ)＝85，求cos2(π4－2θ)的值．[探究]用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解．[解析](1)因为a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)＋1.因此，当2x－π4＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋3π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋1.(2)由f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f(θ)＝85得sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625.因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.已知向量m＝(cosα－23，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－π2，0]．(1)求sinα＋cosα的值；(2)求sin2αsinα－cosα的值．[解析](1)∵m与n为共线向量，∴(cosα－23)×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝29，∴sin2α＝－79，∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，∴(sinα－cosα)2＝2－(23)2＝169.又∵α∈[－π2，0]，∴sinα－cosα0，sinα－cosα＝－43.因此，sin2αsinα－cosα＝712.易错点忽略角的范围致错●误区警示化简2－2＋2＋2cosα(3πα4π)．[错解]原式＝2－2＋4cos2α2＝2－2＋2cosα2＝2－4cos2α4＝2－2cosα4＝4sin2α8＝2sinα8.[错因分析]上述错解在于运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．[思路分析]利用二倍角公式化简1±cosα时，由于1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，则1＋cosα＝2cosα2，1－cosα＝2sinα2，要根据α2所在象限确定sinα2、cosα2的符号，从而去掉绝对值符号．[正解]因为3πα4π，所以3π2α22π，3π4α4π，3π8α8π2，则cosα20，cosα40，cosα80.所以原式＝2－2＋4cos2α2＝2－2＋2cosα2＝2－4cos2α4＝2＋2cosα4＝4cos2α8＝2cosα8.若3π2α2π，化简：12＋1212＋12cos2α.[解析]因为3π2α2π，所以3π4α2π.所以原式＝12＋121＋cos2α2＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝1＋cosα2＝cos2α2＝－cosα2.当堂检测1．下列各式中，值为12的是()A．sin15°cos15°B．2cos2π12－1C．1＋cos30°2D．tan22.5°1－tan222.5°[答案]D[解析]sin15°cos15°＝12sin30°＝14；2cos2π12－1＝cosπ6＝32，1＋cos30°2＝cos15°≠12，tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12，∴选D．2．化简1＋sin100°－1－sin100°的结果为()A．－2sin40°B．2cos40°C．－2sin40°D．2sin40°[答案]D[解析]原式＝1＋2sin40°cos40°－1－2sin40°cos40°＝(sin40°＋cos40°)－(cos40°－sin40°)＝2sin40°.3．若sin(3π2－x)＝35，则cos2x的值为()A．－725B．1425C．－1625D．1925[答案]A[解析]由sin(3π2－x)＝35，得cosx＝－35，故cos2x＝2cos2x－1＝2×(－35)2－1＝－725.4．已知sin2α＝14，