不定积分的积分法(1).ppt

Thm2（Newton-Leibniz公式）()bafxdxNote：Thm的条件可减弱为：()fx在[,]ab上可积，设[,]abfC，F为f的任一原函数，则()()FbFa:()baFx．且()fx在[,]ab上存在原函数()Fx，则()()()bafxdxFbFa．微积分学基本定理（第一大定理）在[a,b]上可积的函数未必有原函数，如1,10,()0,01.xfxx09-10-2作业讲评10表扬：A有进步徐力达02-3，吉月婷胡乔02-4吴竞02-5范玉斌徐磊聂彤02-6，同理，0sin1limxxx.27P14312()sinsin2sinnfxaxaxanx,()sinfxx．证：1221naana1200()(0)()(0)limlim20nxxfxffxfaanaxx，∴120()2limnxfxaanax．0(sin)xx(0)f由()sin()sin(0)fxxfxxxxx故，由极限局部保序性知，1221naana错28P143在[0,1]上()fxM，且()fx在(0,1)内取到最大值．证：(0)(1)ffM(1)(0)()(1)(0)fffffM，∴(0)(1)ffM．在区间内部的最值点处用两次Lagrange中值Thm区间内部的可导的最值点处，导数为零（Fermat引理）,ff联系，由什么建立Lagrange中值Thm凹凸性或单调性有很多种构造辅助函数30(7)P144证：11mnababmn（11,1,1mnmn）凹凸性：(1)()(1)()fxyfxfy关系法一（等式右端启发）(),,logxafxaxmynb法二（等式左端启发）()ln,,mnfxxxayb取11,1mn？,,fxy1111lnlnlnlnlnlnlnmnababmanbabmnmn凹凸性或单调性有很多种构造辅助函数30(7)P144证：11mnababmn（11,1,1mnmn）单调性：将一个字母看出变量，其它字母看出常数，所构造的函数求导简单，便于后面的计算构造辅助函数是思路Thm2（Newton-Leibniz公式）()bafxdxNote：Thm的条件可减弱为：()fx在[,]ab上可积，设[,]abfC，F为f的任一原函数，则()()FbFa:()baFx．且()fx在[,]ab上存在原函数()Fx，则()()()bafxdxFbFa．微积分学基本定理（第一大定理）在[a,b]上可积的函数未必有原函数，如1,10,()0,01.xfxx2．不定积分的概念及基本积分公式1)Def.2()fx的原函数的全体（或一般表达式）称为()fx不定积分，记为()fxdx．若()Fx为()fx的原函数，则()fxdx()FxC，其中C为任意常数积分常数2)不定积分的几何意义.0............yx()Fx()()fxdxFxC――一簇曲线，相互间只差一常数，即从一条曲线上下平移而得3)基本积分公式①不定积分是微分（或导数）的逆运算01()fxdx3)基本积分公式或()()dfxdxfxdx()fx，先不定积分再求导=本身02()fxdx()fxC，或()()dfxfxC．()fxdx()fx的原函数的全体②运算法则0(()1)fxgxdx0()2kfxdx11()()nniiiiiikfxdxkfxdx．（线性性质）()()fxdxgxdx，（可加性）()kfxdx，（齐次性）③基本积分公式P161基本积分表添上21arccos1dxxCx，21arccot1dxxCx．例5(1)2(1)xdx(2)22212(1)xdxxx=(21)xxdx=322423xxxC=2222(1)(1)xxdxxx=22111dxdxxx=1arctanxCx．结果是否正确，唯一的检验方法求导，看积分结果的导函数是否为被积函数例5(3)2tanxdxEXE(4)211dxx2(sec1)tanxdxxxC211dxx求导，看积分结果的导函数是否为被积函数1arcsinxC，或2arccosxCEXE(5)22sin2xdx(cos1)sindxxxC(6)22sincosdxxx求导，看积分结果的导函数是否为被积函数(6)22sincosdxxx法一：22sincosdxxx2222sincossincosxxdxxx22(seccsc)xxdx=法二：22sincosdxxx2244csc(2)(sin2)dxxdxx＝22csc(2)(2)xdx=1.基本积分公式扩充（一元微分形式的不变性）§3不定积分的换元积分法与分部积分法Thm1若()()fxdxFxC，则对x的任一可微函数()ux，都有()fudu或(())()[()]fxdxFxC．（一元微分形式的不变性）例cos(35)xdx；()FuC，1.凑微分法(())()[()]fxdxFxC原理：例1(1)cos(35)xdx；(2)2arctan1xdxx；(3)1(0)dxaaxb；(4)22(0)dxaxa．EXE202ln1xxedx；0sin(1)2xdxx0353sectanxxdx753121secsece5.sc73xxxC3.换元积分法(())()[()]gxdxGxC()fxdx(())()gxxdx分解)(:xu换元()gudu积分()GuCux)(:回代[()]GxC()()guduGuC1)第一类换元积分法例1(1)cos(35)xdx；第一换类元法是与复合函数的微分法则相对应的积分方法．凑微分法即为一种较简单的第一类换元法．例2(2)212xdxx一般地，(,)nRxaxbdxR－有理根式1,nntbnRttdtaa2ux令ntaxb令－有理函数EXE1(1)dxxx例2(3)1sinxdxsinux令例325(1)xdxx分析：若能写成25()aubduu的形式，就能求．EXE0211costandxxx；02tanxdx例2(2)212xdxx2ux令()fxdx()ux令()gudu2)第二类换元积分法例4(1)3dxxx；()xu令()gudu第一换元法第二换元法()fxdxThm2设()fx连续，()xu有连续导数，且回代回代()0u，则()xu令(())()fuudu()FuC回代1[()]FxC()fxdx例4(2)22(0)dxaax(3)211xdxxx分母不能因式分解一般做法：消x，把它写成分母的导数，再凑(4)212xdxxx分母可因式分解法一：同(3)法二：化为部分分式之和差例4(5)2212xdxxx(6)tanxdx同理cotlnsinxdxxC思考：2tanxdx；3tanxdx；4tanxdxsin(cos)coscoslncosxdxdxxxxC(7)2cosxdx(4)212xdxxx例4(8)secxdx法一：1seccosxdxdxx2(sin)1sindxx2coscosxdxxsintancosxxdxdxx111(sin)21sin1sindxxx法二：sec(sectan)secsectanxxxxdxdxxxlnsectanxxC221(1cos2)(sin2)222aatdtttC例5(1)22(0)axdxa解：令sinxat()22t，则,costdtadx原式2222sincoscoscosaatatdtattdt21arcsinsin2arcsin22axxCaa粗制滥造扣分暂时借用到时还原例4(2)22(0)dxaax去根号221(1cos2)(sin2)222aatdtttC例5(1)22(0)axdxa解：令sin()22xatt，则cosdxatdt，222arcsin.2axxaxCaatax22xa原式2222sincoscoscosaatatdtattdt2(sincos)2atttC(2)254xxdx去根号解：设tanxu(0)2u，则sec10lnsectanuuuC22110ln1.xxxCt1x21x2sec,dxudu例6(1)2101xdxx；去根号原式22tan10sec1tanuuduu(tan10)secuudutansec10secuuduudu(2)21xdxx；(3)2245xdxxx当被积函数含有所用的代换称为三角函数代换(1)22xa时，(2)22ax时，(3)22ax时，去根号令taxsin；令taxtan；令xaxsec．例712xxdx法一：（三角代换法）令sec,02xut，则2sectansectan1dxuuduuuxxduuCx112x九种解法sectandxuudu，1arccos.Cx去根号例712xxdx法一：（三角代换法）法二：（根式代换法）令21xt，则21dxxx2arctan1dttCt去根号221xt,xdxtdt，dxxt2xdxxt2(1)tdttt2arctan1.xC法三：（凑微分法）222111xxdxxxdx211)1(xxd.1arccosCx例712xxdx去根号令1xt，则21dxdtt，法四：（倒代换法）11111222ttdttxxdx.1arccos12Cxtdt法五：（双曲代换法）2xxeechx.)(,)(,122chxshxshxchxxshxch2xxeeshx令xchu，则,dxshudu221dxshuduchuduchushuchuxx2()dshuchu法五：（双曲代换法）令xchu，221dxshuduchuduchushuchuxx2()dshuchu22arctan1arctan1.chuCxC.)(,)(,122chxshxshxchxxshxch则,dxshudu2()1dshushuarctan()shuC