【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 专题二 利用导数研究函数的性质课件 理 新人教A

专题二利用导数研究函数的性质数学川（理）第三章导数及其应用1．f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的条件．2．f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是，且f′(x)＝0在有限个点处取到．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的条件，但并不．4．如果连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．基础知识·自主学习要点梳理充分不必要f′(x)≥0必要充分题号答案解析12345D基础知识·自主学习基础自测1，1a[e，＋∞)4A【例1】已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．题型分类·深度剖析题型一利用导数求函数的单调区间解析探究提高【例1】已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．题型分类·深度剖析题型一解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解之，得a＝－1.利用导数求函数的单调区间(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；解析探究提高【例1】已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．题型分类·深度剖析题型一f(x)的单调递减区间是－13，1.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，利用导数求函数的单调区间有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．解析探究提高题型分类·深度剖析题型一利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解析探究提高变式训练1设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．题型分类·深度剖析解(1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．变式训练1设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．题型分类·深度剖析(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．【例2】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二已知单调区间求参数范围解析探究提高【例2】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．题型分类·深度剖析解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex题型二已知单调区间求参数范围＝(－x2＋2)ex.令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0，因为ex0，所以－x2＋20，解得－2x2.所以函数f(x)的单调递增区间是[－2，2]．(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，解析探究提高【例2】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．题型分类·深度剖析所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．因为ex0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，题型二已知单调区间求参数范围即a≥x2＋2xx＋1＝x＋12－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1,1)都成立．令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1x＋120.所以y＝(x＋1)－1x＋1在(－1,1)上单调递增，所以y(1＋1)－11＋1＝32.即a≥32.因此a的取值范围为a≥32.解析探究提高题型分类·深度剖析(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决．(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的，值得特别注意．题型二已知单调区间求参数范围【例2】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．解析探究提高变式训练2已知函数f(x)＝axx2＋b在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增？解(1)因为f′(x)＝ax2＋b－ax2xx2＋b2，题型分类·深度剖析而函数f(x)＝axx2＋b在x＝1处取得极值2，所以f′1＝0，f1＝2，即a1＋b－2a＝0，a1＋b＝2，得a＝4b＝1，所以f(x)＝4x1＋x2即为所求．(2)由(1)知f′(x)＝4x2＋1－8x2x2＋12＝－4x－1x＋11＋x22.令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1，变式训练2已知函数f(x)＝axx2＋b在x＝1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增？题型分类·深度剖析则f(x)的增减性如下表：x(－∞，－1)(－1,1)(1，＋∞)f′(x)－＋－f(x)可知，f(x)的单调增区间是[－1,1]，所以m≥－12m＋1≤1⇒－1m≤0m2m＋1，所以当m∈(－1,0]时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增．【例3】设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－103时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．题型分类·深度剖析题型三函数的极值、最值应用问题思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型三f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，转化为f(x)在[－1,0]上的最大值f(x)max≤1.思维启迪解析探究提高函数的极值、最值应用问题【例3】设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－103时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．【例3】设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－103时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高解(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．当a＝－103时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．函数的极值、最值应用问题令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝12，x3＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)00，121212，22(2，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和12，2上是减函数．【例3】设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－103时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高(2)f′(x)＝x(4x2＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根．函数的极值、最值应用问题由于f(x)仅在x＝0处有极值，则方程4x2＋3ax＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a2－4×16≤0，解此不等式，得－83≤a≤83.这时，f(0)＝b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是－83，83.【例3】设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.(1)当a＝－103时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高(3)由(2)知，当a∈[－2,2]时，4x2＋3ax＋4