【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 理

第六章数列§6.3等比数列及其前n项和内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.等比数列的定义一般地，如果一个数列，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母____表示(q≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比qa1·qn－1知识梳理1答案3.等比中项若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.qn－mak·al＝am·an(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列.答案5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6.等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____.qn答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.()(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.()××××(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.()×(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.()×思考辨析答案1.(2015∙课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.42考点自测2解析答案123452.等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝________.解析令首项为a，根据已知条件有(a＋9)2＝(a＋3)·(a＋21).解得a＝3，所以a4＝3＋3×3＝12.12解析答案123453.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于________.解析数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.4解析答案123454.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程a1a4＝8，a1＋a4＝9，解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1，又∵数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝1－2n1－2＝2n－1.2n－1解析答案123455.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.27,81解析答案12345返回题型分类深度剖析例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.解析显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12，或a1＝9q＝－13(舍去)，题型一等比数列基本量的运算∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.314解析答案(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.所以a1＝1，q＝2，或a1＝－16，q＝12.故a3＝4或a3＝－4.4或－4解析答案思维升华(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________.a5a7解析设公比为q，则由题意知0＜q＜1，由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，得a4＝3，a6＝2，所以a5a7＝a4a6＝32.32跟踪训练1解析答案(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.解析由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.3n－1解析答案例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；题型二等比数列的判定与证明解析答案(2)求数列{an}的通项公式.∴an＋12n＋1－an2n＝34，解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列.∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，故an＝(3n－1)·2n－2.解析答案例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他条件不变探求数列{an}的通项公式.解由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.解析答案思维升华引申探究设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；跟踪训练2解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.解析答案(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.解析答案例3(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.解析由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.51题型三等比数列的性质及应用解析答案(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.解析由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠±1，则可得S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.－12解析答案思维升华（1）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝2，则a1＝________.解析由等比数列的性质得a3a9＝a26＝2a25，∵q＞0，∴a6＝2a5，q＝a6a5＝2，a1＝a2q＝2.2跟踪训练3解析答案(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1＝________.解析设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝1q(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝1qS偶＋a2k＋1＝－126q＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝a1－a2k＋1q21－q2＝a1－192×－221－－22＝255，解得a1＝3.3解析答案返回思想与方法系列典例(14分)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；思维点拨利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；思想与方法系列12.分类讨论思想在等比数列中的应用解析答案思维点拨(2)证明：Sn＋1Sn≤136(n∈N*).思维点拨求出前n项和，根据函数的单调性证明.解析答案思维点拨温馨提醒思想方法感悟提高1.已知等比数列{an}(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.2.判断数列为等比数列的方法(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，{1an}也是等比数列.(1)定义法：an＋1an＝q(q是不等于0的常数，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列；也可用anan－1＝q(q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2)⇔数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同.方法与技巧(2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(anan＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列.方法与技巧1.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.4.等比数列性质中：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，不能忽略条件q≠－1.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝13a2－13，S2＝13a3－13，则公比q＝________.解析答案2.等比数列{an}满足an＞0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝________.解析由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a2n＝22n，从而得an＝2n.log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1).n(2n－1)解析答案1234567891011121314153.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，解析设数列{an}的公比为q，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.14解析答案1234567891011121314154.在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝－8，a2＝－2，b1＝1，b2＝2，那么满足an＝bn的n的所有取值构成的集合是________.解析由已知得，an＝6n－14，bn＝2n－1，令an＝bn，可得6n－14＝2n－1，解得n＝3或5，所以满足an＝bn的n的所有取值构成的集合是{3,5}.{3,5}解析答案12345678