最优控制第四章习题答案

11212212min,(0)1,(0)1,,()0,()0,||1fffJtxxxxxuxtxtu求最优控制。解：哈密顿函数：1221Hxu由极小值原理知,要使(,,)Hxu极小，就要使2u达到极小。由控制约束条件||1u可得，最优控制为2*21,0()1,0ut协态方程：121120,HHxx从而11212(),()tctctc容易判断，12,cc不能同时为零，否则有*()1fHt与定理矛盾。根据12,cc的不同选择可以得到*2()t和*()ut的可能曲线如图所示。因而可候选的最优控制顺序为：1,1,1,1,1,1。状态方程：12xx，2xu2134231,2xutctcxutc边界条件：12(0)1,(0)1,xx，12()0,()0,ffxtxt431,1cc21211122xxuu当1u时，最优曲线方程2121122xx，当1u时，最优曲线方程2121322xx，2121221:(,)|,02xxxxx同理2121221:(,)|,02xxxxx画在同一图中2.0min,ftuJdt112()()()xtxtuxtu且有110220(0)(0)xxxx12()0()0ffxtxt||1u，求最优控制。解：哈密顿函数：11211121()1()Hxuuxu不难判断最优控制为：1,121,12u协态方程：11212,0HHxx从而1122,tcec状态方程：112xxuxu，13txuce,24xutc边界条件：110220(0),(0)xxxx代入得：420cx，310cux202202110(1)xxxxuuxuexe当1u,202202202211010511(1)1xxxxxxxxexexece,当1u,220211061(1)1xxxxxece当图像经过原点时：561,1cc所以1u时，最优曲线方程为：211xxe1u时，最优曲线方程为：211xxe222||1||12112||12112|1|:{(,)||1|,0,0}:{(,)||1|,0,0}xxxxexxxexxxxxexx3.0min,ftuJdt21220102,2xxxxxu且有110220(0)(0)xxxx，12()0()0ffxtxt||1u，求最优控制。解：哈密顿函数：212201022021102221(2)1(2)Hxxxuxxu由极小值原理知,要使(,,)Hxu极小，就要使2u达到极小。由控制约束条件||1u可得，最优控制为2*21,0()1,0ut协态方程：2102210212,2HHxx即21102020,1,2解可写为21,20(1)21220102,2xxxxxu即11222000,101,2xxuxx4.存在恢复力时，无阻尼运动的最小时间控制。如果忽略阻尼，考虑恢复力，则无阻尼运动方程为yyu，若令112,yxxx，则无阻尼运动的状态方程为122100()()()()(),()xtxtxtxtutxtx，无阻尼运动的最小时间控制问题提法如下：0min,ftuJdt122100,()xxxxuxtx，12()0()0ffxtxt||1u。解：哈密顿函数：1221211221()1Hxxuxxu边界条件0012(),()0,()0ffxtxxtxt由极小值原理知,要使(,,)Hxu极小，就要使2u达到极小。由控制约束条件||1u可得，最优控制为*2()sgn()utt沿最优轨线***12211()()()[()()]0ffffftxttxtut协态方程：122112,HHxx由于协态方程与()xt和()ut无关，若令其初态110220(0),(0)则向量形式协态方程11220,11,0解可写为：101202()cossin()sincostttttt于是协态分量210200()sincoscos()tttDt式中22101020020,arctanD因此最优控制规律为*0()sgncos()utDt2()t与*()ut随时间变化的图像如图所示，为了进一步研究最优控制规律并推导切换线方程，将2()t与*()ut曲线平移0距离。令*()1,ut由状态方程可解得轨迹方程为2222212111020(1),(1)xxRRxx且相轨迹是顺时针方向运动的。当*()1,ut，相轨迹方程为2222212221020(1),(1)xxRRxx相轨迹是顺时针方向运动的。在众多的相轨迹曲线中，只有1211RR和两条轨迹可以到达坐标原点，满足12()=()0ffxtxt的末态要求。如若再考虑到最优控制最后一段的时间间隔，则最后一段必位于下列两条半圆形开关线：022+1212202212122=,)|(1)1,0=,)|(1)1,0xxxxxxxxxx((之上，两半圆相切于原点，如图所示。5.系统的状态方程为122()(),||1()()xtxtuxtut寻求时间最优控制函数，使系统由任意初始状态到达下列终端状态：12()2,()1ffxtxt求出开关曲线的方程，并绘出开关曲线的图形。解：哈密顿函数：1221()()()()Htxttut正则方程：122()(),()()xtxtxtut11212()0()()HtxHttx边界条件：1101122022(0),()()(0),()()ffffxxtxtxxtxt1212[(),(){()2,()1}ffffxtxtxtxt极小值条件：1221221**1*xuxu沿最优轨线：**()0fHt根据极小值条件知，最优控制率*2()sgn()utt，为求2()t，可由协态方程和横截条件解出12(),()(1)ftttt，，最优控制*()ut只能是1-1或者由状态方程得：2220120101,2xutxxutxtx即221220101()2xxxxu当2212201011,()2uxxxx，2212021011,()2uxxxx221212121211(,)|,(,)|22xxxxxxxx开关线如图所示6.设已知系统的状态方程为122()(),()()xtxtxtut约束条件||1u，寻求最优控制*()ut，使系统由任意初始状态12(,)到达原点(0,0),并使性能指标0()|()|ftJukutdt最小。其中加权系数0,k末端时间ft是自由的。解：令哈密顿函数122||Hkuxu（1）由极小值条件可得*2()det()utt（2）根据协态方程12112()0,()()HHtttxx假定初始状态为12(0)(0)和，解得11221(t)(0),(t)(0)(0)constt（3）因为H不显含t，且ft自由，故沿最优轨线应满足****122||0Hkuxu（4）式中0,k*||0u，由上式知，必有12()()tt和不同时为零，否则*0H，12(0)(0)和必定不同时为零。若令1(0)0，2(0)0，则22()(0),tconst且必有2(0)1，否则由式（2）知**2()|()|sgn()ututt再将*12()()()ttut、和代入（1）得***||||0Hkuuk与（4）矛盾。若令2(0)0，1(0)0，则21(t)(0)t为直线方程，与t轴只有孤立交点，不存在奇异时间间隔。若令2(0)0，1(0)0，则221(t)(0)(0)t为直线方程，也不存在奇异时间间隔。其时间—燃料最优控制必定是三位控制。当12()()tt和满足关系式（3）时，如下六种控制序列为候选最优控制序列：+1-10+10-1+1,0-1-1,0+1，，，，，，，，，式中后两种控制序列具有代表性，前四种情况均为这两种情况的特例。（1）*()-1,0+1ut，的开关曲线由（3）知，当取*()-1,0+1ut，时，应有1122121(t)(0),(t)(0)(0),(t)(0)0t因此，*2()()utt与的关系及相应的状态轨线如图所示。由图可确定*()-1,0+1ut，对应的开关曲线。由CO段，*()1,cfutttt从状态方程122()(),()()1xtxtxtut可得过相平面原点的相轨迹方程为2121()()2xtxt，上式表明，CO段为抛物线。因而，*()ut从0切换到1的开关曲线为20121221(,)|,02xxxxx由BC段,*()0,BCutttt从状态方程122()(),()()0xtxtxtut解得222112,()BCCBCCBxxxconstxxxtt,由图可见，22=1=-1BCtt和分别为和时的转换时刻，故令2B21221(t)(0)(0)1,(t)(0)(0)1BCCtt解得12(0)CBtt再根据条件（4）。当*()0ut时，应有*12(0)0CHkx求出12(0)Ckx，22112CBCxxxk，（5）由于点0C位于上，必满足221221122CCBxxx,代入（5），有21242BBkxxk，（6）若以0表示B点所在的开关曲线，则（6）表明，这是一条通过原点的抛物线。于是，*()ut从-1切换到0的开关曲线为20121224(,)|,02kxxxxxk上述表明，从相平面上A点开始的时间-燃料最优控制为*()-1,0+1ut，。状态由A出发，沿抛物线AB运动，至开关曲线0时，发生由10uu到得转换，然后状态沿平行于1x轴的直线BC运动，至开关曲线0发生由01uu到得第二次转换，然后沿抛物线CO运动，直至坐标原点。（1）*()1,01ut，-的开关曲线通过类似的分析，可得相应的两条开关曲线为201212220121221(,)|,024(,)|,02xxxxxkxxxxxk若令0012122100121221(,)|||24(,)|||2xxxxxkxxxxxk则开关曲线1、将相平面分成1234RRRR、、和四个区域，如图所示。各区