神奇黄金分割[1]

神奇黄金分割1神奇黄金分割摘要黄金分割是一数学比例关系.黄金分割是一个非常古老的数学问题，由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯发现，以严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值，它的神秘莫测，令人们不断地研究它、发现它，并在实践中运用它服务于我们的生活.黄金分割的各种神奇的作用和魔力，至今还没有明确的解释.但随着黄金分割奇妙性质逐渐被发现，它在实际生活中发挥着越来越多的，甚至是我们意想不到的作用.本文通过对黄金分割的各方面性质的探讨，揭示黄金分割的奇妙之处,并对黄金分割法与二分法进行分析，得出结论.关键词黄金分割奇妙性质与运用数学美二分法一、关于黄金分割的概念及其性质1.1黄金分割什么是黄金分割？或许大多数人只知道0.618这个数字.难道黄金分割就只有这些吗？黄金分割是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.将某直线段分为两部分,使一部分的平方等于另一部分与全体之积，或使全体对一部分之比等于这一部分对另一部分之比.用一点将长度为1的线段分割成两部分，设较长一段为x，且有21xx，这样的分割称为黄金分割.黄金分割由古希腊数学家毕达哥拉斯发现，意大利文艺复兴时期最负盛名的艺术大师列奥那多达·芬奇所命名，而分线段为黄金分割的点称为黄金分割点，一条线段有两个黄金分割点.1.2黄金分割数在上图黄金分割中，通过解方程211012xxx其中，可解得512x，即比例式中的比值是一个定值，用希腊字母表示这个值，这个数就称为黄金分割数，也可称为黄金数、黄金分割率、黄金率.ABCDC和D是线段AB的黄金分割点。神奇黄金分割21.3黄金分割数的性质黄金分割数是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，这是一个十分有趣的数字，黄金分割数有一下几个奇妙的性质：（1）我们以0.618来近似，通过简单计算就可以发现11，12251512515151，51511122，记512，称为共轭黄金分割数，有趣的是和1的小数部分相等0.6180339887...，11.6180339887....（2）21由于是方程210xx的解，所以满足方程，得21.（3）311（4）111111...令1111111...x，则11xx，即210xx，得x.（5）111...1令111...1x，则21xx，得1x.（6）与斐波纳契数列由一对小兔子的繁殖问题引出的著名数列——斐波纳契数列与黄金分割数也有着不可思议的关系.斐波纳契数列{}nF：1，1，2，3，5，8，…（后一项是前两项的和）神奇黄金分割3由其递推公式：12121,3,4,5,nnnFFFFFn…可得其通项公式为：11515,225nnnFnN其中.从通项公式中，我们可以发现黄金分割数的痕迹，更有趣的是在此数列中，前一项与后一项比值的极限就是，即1limnnnFF.二、黄金分割的发现与早期发展2.1黄金分割的发现公元前4世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论.但是他并不承认无理数的存在，也没有算出分割的精确比值.毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到了动摇，希腊数学中出现的这一逻辑困难也被称为“第一次数学危机”.公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统的论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说，德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割.黄金分割在文艺复兴的前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”.这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法.2.2黄金分割的早期发展接着，一些实验美学派者通过许多实验证明这种分割具有匀称、和谐、适度的特点.著名画家达·芬奇广泛研究了人类身体的各种比例，右边一张图画的是他对人体的详细研究，而且图中标明了黄金分割的应用.这是一张他为数学家L·帕西欧里的书《神奇的比例》所作的图解，该书出版于1509年.黄金分割神奇黄金分割4还出现在达·芬奇未完成的作品《圣徒杰罗姆》中，该画约作于公元1483年.在作品中，圣徒杰罗姆的画像完全位于画中附加上的黄金矩形内，应当认为这不是偶然的巧合，而是达·芬奇有目的地使画像与黄金分割相一致，在达·芬奇的著作和思路中，处处表现出对数学应用的强烈兴趣.达·芬奇说过：“没有什么能不通过人类的探求而称之为科学的，除非它是通过数学的解释和证明的途径.”后来这种分割就被达·芬奇称为黄金分割.这一比例又被古希腊美学家誉为“黄金分割律”简称“黄金律”或“黄金比”.20世纪中，法国建筑师科布西埃发现黄金比具有数列的性质，他将其与人体尺寸相结合，提出黄金基准尺方案，并视之为现代建筑美的尺度.法国还产生了冠名为黄金分割画派的立体主义画家集团，专注于形体的比例.四、自然界中的黄金分割随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）认识的日益深入，人类关于“黄金分割”这一神奇比例的了解也越来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无处不在，从低等动植物到高等的人类，从数学到天文现象，几乎都暗含着这种比例结构.4.1黄金分割与植物植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界.尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的.你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5角.如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数.植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的，叶子的排布，多么精巧！叶子间的137.5角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360,360137.5=222.5又137.5-222.50.618，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618，有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的.神奇黄金分割54.2黄金分割与动物物界，形体优美的动物形体，如马、骡、狮、虎、豹、犬等，凡是看上去健美的，其身体的长与宽的比例也大体上接近黄金分割.翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与身长之比也接近于0.618.4.3黄金分割与人体今人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关.人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美，于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为0.618）.黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距上13与中下23之分割点；(10)鼻下点：发际－颏底间距下13与上中23之分割点；(11)唇珠点：鼻底－颏底间距上13与中下23之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下13与上中23之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左13与右23之分割点；(14)右口角点：口裂水平线右13与左23之分割点.黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长.黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数.神奇黄金分割6面部黄金分割律：面部三庭五眼，0.618作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约.人体的比例关系：用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较.用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法.分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶.标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼.三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内眦间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度，其是五眼长度称五眼.毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美.在人的生命程序DNA分子中，也包含着“黄金分割比”.它的每个双螺旋构中都是由长34个埃与宽21个埃之比组成的它们的比率为1.6190476，非常接近黄金分割的1.618.五、黄金分割的几何应用古希腊以来的美学家有一条公认的美学定律：符合黄金分割的平面图形或几何体是最美.5.1黄金矩形黄金矩形是一个宽和长的比为黄金分割数的特殊矩形（作法见右图），很多国家的国旗就是黄金矩形，电视机屏幕的形状就近似黄金矩形，从而用一个数值（黄金矩形的对角线的长度）就能描述电视机的尺寸.若从黄金矩形中切下以宽为边长的正方形，则又得到了一个小的黄金矩形；无限地进行这个过程，我们可以得到更小、更小的黄金矩形，且每次要缩小为原来的倍.黄金矩形是唯一一个从中切下一个正方形又变成一个相似长方形的图神奇黄金分割7形.5.2黄金三角形和黄金磬折形底边对腰的比为黄金分割数的等腰三角形被称为黄金三角形；腰对底边的比为黄金分割数的等腰三角形被称为黄金磬折形.左图说明了黄金三角形和黄金磬折形的独特属——它们可以被分成更小的三角形，而这些三角形同样也是黄金三角形和黄金磬折形.5.3五角星和正五边形利用线段上的两黄金分割点，可作出五角星，正五边形.五角星，正五边形对角线就是五角星.在古希腊，人们用一个大圆里的五角星中，站着一个“大字形”的健美的男子的图案，代表人体的完美.5.4黄金角度用黄金比例划分一周的角度是360222.5，由于它大于180，我们可以从圆周的另一个方向去测量，即360222.5137.5，这个角度就被称为黄金角度.我们可以在连续的叶片上发现叶片的分布的角度接近黄金角度，有著作显示，生长在由黄金角度决定的繁殖螺旋线旁的叶芽最有效地聚集在一起，若取360有理数倍的角，则叶片就会以放射状排开，叶片之间就会留下很大的空间.5.5黄金螺旋黄金螺旋就是对数螺旋，又可称为等角螺旋，是法国数学家和哲学家笛卡尔在1683年发现的.“等角”反映了从极点任意画一条直线到曲线上的一点，它完全按相同的角度分割曲线.它与黄金分割数亦有着千丝万缕的联系，如右图，其中1.令