2013高三数学二轮专题三第2讲 数列求和及数列的综合应用

第2讲高考真题感悟第2讲数列求和及数列的综合应用【高考真题感悟】(2011·课标全国)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列1bn的前n项和．解(1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲高考真题感悟所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn＋12.故1bn＝－2nn＋1＝－21n－1n＋1，1b1＋1b2＋…＋1bn＝－21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝－2nn＋1.所以数列1bn的前n项和为－2nn＋1.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲高考真题感悟考题分析本题主要考查等比数列的基本量的计算、通项公式和前n项和的求法．考查了用裂项法求前n项和的基本方法．体现了对逻辑思维能力和运算求解能力的考查．易错提醒(1)不能准确选择基本量，列方程求解．(2)bn计算不准确，易忽略负号．(3)所求的是1bn的前n项和而非{bn}的前n项和．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲主干知识梳理1．等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Sn＝na1＋nn－12·d＝na1＋an2.(2)等比数列前n项和公式：①q＝1时，Sn＝na1；②q≠1时，Sn＝a11－qn1－q.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲主干知识梳理2．数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲主干知识梳理3．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破题型一分组转化求和法【例1】求和：(1)Sn＝32＋94＋258＋6516＋…＋n·2n＋12n；(2)Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2.(1)写出通项an＝n＋12n，转化为数列{n}和数列12n分别求和再相加．(2)写出通项an＝x2n＋1x2n＋2，可转化为两个等比数列{x2n}，1x2n与常数列{2}的求和问题．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破解(1)由于an＝n·2n＋12n＝n＋12n，∴Sn＝1＋121＋2＋122＋3＋123＋…＋n＋12n＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋122＋123＋…＋12n＝nn＋12＋121－12n1－12＝nn＋12－12n＋1.(2)当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破＝x2＋2＋1x2＋x4＋2＋1x4＋…＋x2n＋2＋1x2n＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋1x2＋1x4＋…＋1x2n＝x2x2n－1x2－1＋x－21－x－2n1－x－2＋2n＝x2n－1x2n＋2＋1x2nx2－1＋2n.∴本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破(2011·山东)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋n－12－nln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破题型二错位相减求和法【例2】已知数列{an}中，a1＝4，且an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，且n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)①是数列{an}的一个递推关系式，由等差数列与等比数列的定义容易判断该数列既不是等差数列也不是等比数列；②除以2n后可以发现得到的式子正好符合等差数列的定义，因此可构造等差数列{an2n}进行求解；(2)数列{an}的每一项都是一个等差数列的项与一个等比数列的项的乘积，因此可用错位相减法求和．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破解(1)在等式an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)两边同时除以2n，得an2n＝an－12n－1＋2(n≥2)，即an2n－an－12n－1＝2(n≥2)，因此数列{an2n}是一个公差为2的等差数列，且其首项为a12＝42＝2，于是an2n＝2＋(n－1)×2＝2n，因此an＝2n·2n＝n·2n＋1，即数列{an}的通项公式为an＝n·2n＋1.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破(2)由(1)知Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以2Sn＝1·23＋2·24＋3·25＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，两式相减得－Sn＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝41－2n1－2－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－4，故Sn＝4＋(n－1)·2n＋2.错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破题型三裂项相消求和法【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，点n，Snn在直线y＝12x＋112上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，且b3＝11，前9项和为153.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝32an－112bn－1，求数列{cn}的前n项和Tn.(1)先求出Sn的函数表达式，再由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an；先判断数列{bn}为等差数列，再求通项．(2)求出{cn}的通项，根据通项特点正确裂项．本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破解(1)由题意，得Snn＝12n＋112，即Sn＝12n2＋112n.故当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝12n2＋112n－12(n－1)2＋112(n－1)＝n＋5.当n＝1时，a1＝S1＝6，且n＋5＝6，所以an＝n＋5(n∈N*)．又由题意知bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N*)，所以{bn}为等差数列，于是9b1＋b92＝9b3＋b72＝153.本讲栏目开关高考真题感悟主干知识梳理热点分类突破名师押题我来做第2讲热点分类突破由b3＝11，得b7＝23，d＝23－117－3＝3，因此bn＝b3＋3(n－3)＝3n＋2，即bn＝3n＋2(n∈N*)．(2)cn＝32an－112bn－1＝3[2n＋5－11][23n＋2－1]＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1.所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝12[1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1]＝12