2013高中数学(文)第一轮总复习第5章第35讲复数的概念与运算(精)

23复数的概念【例1】实数m为何值时，复数z＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i：(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)对应的点在复平面的第二象限内？422222232012.32012.230,3.320230,1123.32034mmmmmmmmmmmmmmmmmm【解析由＋＋＝，得＝－或＝－由＋＋，得－且得－】－由得＝由5复数集是实数集的扩充．复数是由实部(实数)和虚部(实数)两部分组成的，当实部为0且虚部不为0时，复数是纯虚数；当虚部不为0时，复数是虚数．实部和虚部组成的实数对构成复平面上点的坐标．本题主要考查复数的分类和复数的基本几何意义，解题的关键是掌握复数的定义，找准复数的实部和虚部．622(23)i.1123430mmmzmmmmzxyR已知，复数＝＋＋－当为何值时，复数：为实数；为纯虚数；对应的点位于复平面的第二象限；对应的点在【变式练直线＋1＋习＝】上？722230103.32002.12300212mmmmmzmmmmmmmmmz由，解得＝－故当＝－时，复数为实数．由，解得＝或＝故当＝或＝时，复数是【解析】纯虚数．82201230312.3123mmmmmmmmmz由，解得－或故当－或时，复数对应的点位于复平面的第二象限．9222(23)30124010150.015430mmmmmmmmmmmmmzxy由＋＋－＋＝，得＝，解得＝或＝－故当＝或＝－时，复数对应的点在直线＋＋＝上．10复数相等【例2】若复数z满足z(3－i)＝1＋2i(i是虚数单位)，求复数z.11i()(i)(3i)12i31312(3)i12i,3211710i.71010101212317i.3101010zabababababbabaazbiiiziR设＝＋，，则＋－＝＋，即＋＋－＝＋，得解得，所以＝方法：方法：＋【＝＝＝＋解析】12本题可以设出z的代数形式，利用复数相等，列出方程组求出z，也可直接解关于z的方程．131|3||3i|521.1zzzzzzR已知复数同时满足下列两个条件：－＝【变式－；－＝，练习求复数2】【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)．由条件(1)得(x－3)2＋y2＝x2＋(y－3)2.①由条件(2)得(x－1)2＋y2－5＝0.②由①②得x＝y＝2或x＝y＝－1，故所求复数z＝2＋2i或z＝－1－i.14复数的四则运算(13i)52.2zzzi设已知，是复数，【＋为纯虚数，＝且＝3，求例】1522i()(13i)3(3)i.30.||522510.3155.155(7i)2zababzababzabizabababiiR设＝＋，，则＋＝－＋＋由题意，＝又＝＝，所以＝＝将＝代入得＝，＝所以＝＝【】－解析．1652z题变较数则运则决问题没碍时则运烦本涉及的量多，只要依据复的四算法一步步做，解就有障．在求，要用好＝，否，算就麻了．1732629991321143212i3i1000i.iiii【计算：－；＋变式练习3＋】＋＋0(i)(12i34i)(56i78i)(997998i9991000i)250(22i)500500i.112n；利用的周期性原式＝＋－－＋＋－－＋＋＋－【解－＝－－＝－－析】方法：182999239991000299910001000()12i3i1000iii2i3i999i1000i.(1i)1iii1000i11000100011000500500i.12SSSiiSi错位相减法求和记＝＋＋＋＋，①则＝＋＋＋＋＋②①－②得－＝＋＋＋＋－＝－＝－，所以＝＝－－方法：191.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为____________.-12101.10xxx由，】解得【＝－解析2010112.()_________.2izzz　设＝，则＝　　25050111[()](i)22222i2222i1.22iiizzzz＝＝－＝－＋，＝【解－－所以析，＝】1213.ii()________.abababR　是虚数单位，若＝＋，，则乘积的值是171722513i133.iiiiabab因为＝＝－＋，所以＝－，＝，则【解＝－析】-322231314..2iizzi　已知＝，则＝_____　222213123771i2555712.55iiziiiiz因为＝＝＝＝【＋，所以＝】＝解析2355.3zzzzz　满足＋是实数，且＋的实部与虚部互为相反数的虚数是否存在？若存在，求出虚数；若不存在，说明理由．24222212i(0)550303503122112i2izababbbabibabiababababbabaabbzzRR设＝＋，，，则，得，因为，所以，解得或所以，存在＝－－或【解＝－－满析】足题意．251．复数的概念(1)复数的代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部．2i0(0)0(0)2zabbzzz复数＝＋是实数的充要条件：①＝；②＝虚部为；③虚部为．2622i000(0)0(0)3.42zababzzzzzzzzzz复数＝＋是纯虚数的充要条件：①＝，；②＋＝实部为；③实部为；两个复数不全为实数时不能比较大小，只有相等与不等关系．．共轭复数的性质：＋是实数，－是纯虚数，＝273．复数的四则运算复数的四则运算是指复数的加、减、乘、除运算，符合多项式的四则运算法则，只是在运算中含有虚数单位i.尤其是复数的除法运算需要利用共轭复数进行分母实数化．