高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第10节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第十节变化率与导数、导数的计算考纲传真1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0ΔyΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点处的．相应地，切线方程为．(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．(x0，f(x0))切线斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0fx＋Δx－fxΔx菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝n·xn－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)[fxgx]′＝(g(x)≠0)．4．复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝，即y′x＝.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2f′(u)·v′(x)y′u·u′x菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点()(4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，则f′(a)＝3a2＋2x()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是()A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2【解析】由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g，故当t＝2s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14m/s2.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝1x·ln2；③sinπ3′＝cosπ3；④1lnx′＝x.A．1B．2C．3D．4【解析】因为(3x)′＝3xln3，sinπ3′＝32′＝0，1lnx′＝－1xlnx2所以只有②正确，故选A.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·大纲全国卷)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9B．6C．－9D．－6【解析】y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．【解析】∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.【答案】2x－y＋1＝0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1导数的计算【例1】求下列函数的导数：(1)y＝exsinx；(2)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝ln2x＋3x2＋1.【思路点拨】(1)利用积的导数运算法则求解，(2)(3)先化简再求导，(4)利用商的导数运算法则和复合函数求导法则求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)y′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx.(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)∵y＝x－12sinx，∴y′＝1－12cosx.(4)y′＝ln2x＋3′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′x2＋12＝2x＋3′2x＋3·x2＋1－2xln2x＋3x2＋12＝2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋32x＋3x2＋12.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1求下列函数的导数：(1)y＝ex＋1ex－1；(2)y＝3xex－lnx＋e；(3)y＝3－x＋e2x.【解】(1)∵y＝ex＋1ex－1＝1＋2ex－1，∴y′＝－2exex－12.(2)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－1x＝3xexln3＋3xex－1x＝3xexln(3e)－1x.(3)y′＝＝－12(3－x)－12＋2e2x.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2导数的几何意义【例2】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．【思路点拨】(1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为x0，13x30＋43，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0；(3)设切点坐标为(x0，y0)，再根据切线斜率为1求x0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为x20＝1，x0＝±1.切点为(－1,1)或1，53，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－53＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．“曲线在点P处的切线”则以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】(1)f′(x)＝3x2＋1，f′(2)＝13，则曲线在点(2，－6)处的切线方程为y＋6＝13(x－2)即13x－y－32＝0.(2)设切点坐标为(x0，y0)，由f′(x)＝3x2＋1得f′(x0)＝3x20＋1，则直线l的方程为y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，即y＝(3x20＋1)x－2x30－16，又直线l过原点则有－2x30－16＝0，解得x0＝－2.因此直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)设切点坐标为(x1，y1)，则f′(x1)＝3x21＋1，由已知得3x21＋1＝4，解得x1＝1或x1＝－1，当x1＝1时，y1＝－14，此时切线方程为y＋14＝4(x－1)，即y＝4x－18，当x1＝－1时，y1＝－18，此时切线方程为y＋18＝4(x＋1)，即y＝4x－14.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3导数几何意义的应用【例3】(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点P(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1(2)(2014·咸阳模拟)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()A．2B．－1C．－12D．1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)根据f′(0)＝1及点P(0，b)在切线方程上求解．(2)设出切点坐标(x0，y0)，根据f′(x0)＝12求切点坐标，再根据切点在切线上求b.【尝试解答】(1)y′＝2x＋