高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第11节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第十一节导数在研究函数中的应用考纲传真1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是．单调递增单调递减常数函数菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧，右侧，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧，右侧，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．f′(x)0f′(x)0都大f′(x)0f′(x)0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的．②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中的一个是最大值，的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)0()(2)函数的极大值一定比极小值大()(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)当x＞0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是()A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(0，2)【解析】f′(x)＝1－4x2，令f′(x)＜0，∴1－4x2＜0，x＞0，∴0＜x＜2，∴f(x)的减区间为(0,2)．【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2－11－1所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()图2－11－1A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【解析】∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3【解析】f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在x∈[1，＋∞)上恒成立，又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，所以a≤3，且当a＝3时，f′(x)＝0只有一个根，因此a的最大值是3，故选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1利用导数研究函数的单调性【例1】(2013·北京市西城一模)已知函数f(x)＝xx2＋b，其中b∈R.(1)若x＝－1是f(x)的一个极值点，求b的值；(2)求f(x)的单调区间．【思路点拨】(1)先求f′(x)，然后令f′(－1)＝0，求b并验证其是否符合题意；(2)分b＝0，b0，b0三种情况求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)f′(x)＝b－x2x2＋b2.依题意，令f′(－1)＝0，得b＝1.经检验，b＝1时符合题意．(2)①当b＝0时，f(x)＝1x.故f(x)的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；无单调增区间．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）②当b0时，f′(x)＝b－x2x2＋b2.令f′(x)＝0，得x1＝b，x2＝－b.f(x)和f′(x)的情况如下：x(－∞，－b)－b(－b，b)b(b，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)故f(x)的单调减区间为(－∞，－b)，(b，＋∞)；单调增区间为(－b，b)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）③当b0时，f(x)的定义域为D＝{x∈R|x≠±－b}．因为f′(x)＝b－x2x2＋b20在D上恒成立，故f(x)的单调减区间为(－∞，－－b)，(－－b，－b)，(－b，＋∞)；无单调增区间．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.利用导数求函数f(x)单调区间的步骤：(1)求函数f(x)的定义域，如本例(2)易视定义域致误；(2)求导数f′(x)；(3)在函数定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)确定函数f(x)的单调区间．2．由函数的单调性，求参数范围，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0，x∈(a，b))恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1已知函数f(x)＝mlnx－12x2(m∈R)，求函数f(x)的单调区间．【解】函数f(x)＝mlnx－12x2的定义域是(0，＋∞)．f′(x)＝mx－x＝m－x2x.当m≤0时，f′(x)≤－x2x＝－x0，函数f(x)＝mlnx－12x2在(0，＋∞)上为减函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）当m0时，令f′(x)＝0，得：x＝m或－m(舍去)．当x∈(0，m)时，f′(x)0，∴f(x)在(0，m)上是增函数；当x∈(m，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(m，＋∞)上是减函数．综上所述，当m≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当m0时，f(x)的单调递增区间为(0，m)，单调递减区间为(m，＋∞)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2利用导数研究函数的极值【例2】(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【思路方拨】(1)首先确定定义域，再利用导数求切线斜率及其方程；(2)先求出函数导数，再讨论字母a的取值以确定单调性．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x＞0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.对含参数的求极值问题，应注意分类讨论，本题易错点是忽视对参数a的讨论而使解答不全面．2．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2函数f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x≠0时，求函数f(x)的极值．【解】(1)设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝－xln(－x)，又因为f(x)为奇函数，所以得到f(x)＝xln(－x)，又当x＝0时，f(x)＝0，则f(x)＝xlnx，x＞0，0，x＝0，xln－x，x＜0，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)当x＞0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)＜0得0＜x＜1e，f′(x)＞0得x＞1e.列表如下：x0，1e1e1e，＋∞f′(x)－0＋f(x)极小值所以，当x＞0时，函数的极小值为f1e＝－1e；又由于函数是奇函数，所以当x＜0时，函数的极大值为f－1e＝1e.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3用导数研究函数的最值【例3】(2013·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．【思路点拨】(1)利用导数的几何意义求解；(2)先利用导数确定f(x)的单调性，再确定极值和区间端点的函数值．由于所给区间中含有绝对值，因此要分类讨论．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y－4＝6(x－2)，即6x－y－8＝0.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2