高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第3节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第三节函数的奇偶性与周期性考纲传真1.(1)了解函数奇偶性的含义；(2)会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性与周期性.2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断应用简单函数的周期性.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．奇函数、偶函数的定义对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数⇔；(2)f(x)为奇函数⇔．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．奇、偶函数的性质(1)定义域特征：奇函数，偶函数的定义域都关于对称．(2)图象特征：奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称．(3)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性．(4)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有意义，则f(0)＝.原点原点y轴相同相反0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．周期性(1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②对定义域内的任意x都成立．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做它的最小正周期．(3)周期不唯一：若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小的正数菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12【解析】依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1【解析】这四个函数的定义域都是R.因为(－x)3＝－x3，2sin(－x)＝－2sinx，故y＝x3和y＝2sinx都是奇函数．因为(－x)2＋1＝x2＋1，所以y＝x2＋1是偶函数．因为2－x≠－2x,2－x≠2x，所以y＝2x既不是奇函数也不是偶函数，故奇函数的个数是2，选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．函数f(x)＝4x－12x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【解析】∵f(－x)＝4－x－12－x＝1－4x2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，∴f(1)＝12＋11＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝lg1－x2|x－2|－2；(3)f(x)＝x2＋x－x2＋xx0x0.【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况判断．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由3－x2≥0x2－3≥0得x2＝3，所以x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由1－x2＞0，|x－2|≠2得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg1－x2－x.又∵f(－x)＝lg[1－－x2]x＝－lg1－x2－x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)显然函数f(x)的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.第(2)小题易忽视定义域，无法去掉绝对值符号，导致无法求解．2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(2014·潍坊模拟)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数【解析】∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．∴f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2函数奇偶性的应用【例2】(2013·江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．【思路点拨】先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)x，再取并集即得原不等式的解集．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】设x＜0，则－x＞0，于是f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，由于f(x)是R上的奇函数，所以－f(x)＝x2＋4x，即f(x)＝－x2－4x，且f(0)＝0，于是f(x)＝x2－4x，x＞0，0，x＝0，－x2－4x，x＜0.当x＞0时，由x2－4x＞x得x＞5；当x＜0时，由－x2－4x＞x得－5＜x＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．由此可求函数值、参数的值或求函数解析式．2．(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x＝0时有定义，则f(0)＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2014·盐城模拟)已知函数f(x)＝2x－a2x＋a在其定义域上为奇函数，则a＝________.【解析】由f(－x)＝－f(x)得2－x－a2－x＋a＝－2x－a2x＋a，即1a－2x1a＋2x＝a－2xa＋2x，∴1a＝a，∴a＝±1.【答案】±1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3函数的周期性及其应用【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)．【思路点拨】(1)证明f(x＋4)＝f(x)；(2)先求[－2,0]上的解析式，再求[2,4]上的解析式；(3)根据周期性求解．【尝试解答】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝0＋1＋0＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．2．若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1fx，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，试求f(－2011)＋f(2013)的值．【解】当x≥0时，f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(2013)＝f(1)＝log22＝1，f(－2011)＝f(2011)＝f(3)＝－1f1＝－1，∴f(－2011)＋f(2013)＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）二个结论1.若f(x)定义域不关