高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第4节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第四节二次函数与幂函数考纲传真1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：f(x)＝(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．ax2＋bx＋c(h，k)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)二次函数的性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在－∞，－b2a上在－b2a，＋∞上在－∞，－b2a上在－b2a，＋∞上对称性函数的图象关于x＝－b2a对称4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a减增增减菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.幂函数(1)定义：形如(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是，α是常数．y＝xα自变量(2)幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)值域R[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)∪菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1奇偶性偶奇/奇单调性增在上增在(－∞，0)上减在上减在(－∞，0)上减定点(1,1)奇(0，＋∞)增(0，＋∞)增菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x2B．f(x)＝x－2C．f(x)＝xD．f(x)＝x【解析】设f(x)＝xα，则有3＝33α，即3＝3－α2，∴－α2＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，故选B.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．图2－4－1中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()图2－4－1A．－1，12，3B．－1,3，12C.12，－1,3D.12，3，－1【解析】根据幂函数的图象知，选A.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2014·佛山模拟)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.【解析】f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.【答案】4菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【解析】二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.【答案】(－∞，－2]菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1二次函数的图象与性质【例1】(2014·无锡模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．【尝试解答】(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数，∴f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－2a2＝－a，∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝x2＋2x＋3＝x＋12＋2，x≤0，x2－2x＋3＝x－12＋2，x＞0，其图象如图所示：又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.本题(3)应去掉绝对值符号，化为分段函数．2．解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b1，g(x)＝f(x)－m·x在[2,4]上单调，求m的取值范围．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】(1)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a，若a0，则f(x)在区间[2,3]上是增函数．则有f2＝2＋b＝2，f3＝3a＋2＋b＝5，解得b＝0，a＝1.若a0，则f(x)在区间[2,3]上是减函数，则有f2＝2＋b＝5，f3＝3a＋2＋b＝2，解得b＝3，a＝－1.综上可知，a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由b1知，a＝1，b＝0，则f(x)＝x2－2x＋2，所以g(x)＝x2－(m＋2)x＋2.因为g(x)在区间[2,4]上是单调函数，所以m＋22≥4或m＋22≤2，解得m≥6或m≤2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2二次函数的综合应用【例2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间．(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．【思路点拨】(1)利用对称轴x＝－1及f(－1)＝0列方程组求解．(2)分离参数求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由题意知－b2a＝－1，f－1＝a－b＋1＝0，解得a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋1，由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由题意知，x2＋2x＋1x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即kx2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，由g(x)＝x＋122＋34知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k1，即k的取值范围是(－∞，1)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．2．由不等式恒成立求参数取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值．都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．【解】由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1,4)，得a＞－2x2＋2x在(1,4)上恒成立．令g(x)＝－2x2＋2x＝－21x－122＋12，1x∈14，1，∴g(x)max＝g(2)＝12，所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立，只要a＞12即可．故实数a的取值范围为a|a＞12.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3幂函数及其性质【例3】已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)m2＜(3－2a)m2的实数a的取值范围．【思路点拨】菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，解之得－1＜m＜3.又m∈N*，∴m＝1或m＝2.由于f(x)的图象关于y轴对称．∴m2－2m－3为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，∴m＝2舍去．因此m＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）又y＝x12在[0，＋∞)上为增函数，∴(a＋1)12＜(3－2a)12等价于0≤a＋1＜3－2a，解之得－1≤a＜23，故实数a的取值范围是{a|－1≤a＜23}．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.本题求解的关键是利用幂函数的单调性，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系．2．当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征(如图2－4－2所示)：(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2；(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x；(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－