高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第5节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第五节指数与指数函数考纲传真1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．根式的性质(1)(na)n＝.(2)当n为奇数时，nan＝.(3)当n为偶数时，nan＝.(4)负数的偶次方根．(5)零的任何次方根．aa|a|＝a－aa≥0a0无意义都等于零菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．有理指数幂(1)分数指数幂：①正分数指数幂：a＝(a0，m，n∈N*，且n1)；②负分数指数幂：a＝＝(a0，m，n∈N*，且n1)；③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．nam没有意义01nam菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)有理数指数幂的运算性质：①ar·as＝(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域过定点.当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，性质在R上是在R上是(0，＋∞)y10y10y1y1增函数减函数(0,1)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4－44＝－4()(3)函数y＝2x－1是指数函数()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】B2．(人教A版教材习题改编)化简的结果为()A．－9B．7C．－10D．9【解析】＝8－1＝7.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．化简416x8y4(x＜0，y＜0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y【解析】416x8y4＝424x24y4＝2x2|y|＝－2x2y.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·浙江高考)已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy【解析】A项，2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，故错误；B项，2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(x·y)≠2lg(x＋y)，故错误；C项，2lgx·lgy＝(2lgx)lgy，故错误；D项，2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx·2lgy，正确.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．【解析】由题意知02－a1，解得1a2.【答案】(1,2)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算．考向1指数幂的化简与求值菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2指数函数图象的应用【例2】已知f(x)＝|2x－1|，(1)求f(x)的单调区间；(2)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数．【思路点拨】(1)作出f(x)的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝x2的图象，数形结合求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由f(x)＝|2x－1|＝2x－1，x≥0，1－2x，x＜0.可作出函数的图象如下图左．因此函数f(x)在(－∞，0)上递减；函数f(x)在(0，＋∞)上递增．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象如上图右所示，有四个交点，故g(x)有四个零点．规律方法21.指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数函数图象数形结合求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？【解】令f(x)＝|3x－1|，其图象如图所示：由图象知，当k0时，方程无解．当0k1时，方程有二解；当k＝0或k≥1时，方程有一解．考向3指数函数性质的应用菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解；(2)f(x)有最大值3，则ax2－4x＋3有最小值－1；(3)f(x)的值域是(0，＋∞)，则ax2－4x＋3的值域为R.【例3】已知函数f(x)＝(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，则g(x)在区间(－∞，－2]上单调递增，在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y＝13x在R上是减函数，因此f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，则有a0，12a－164a＝－1，解得a＝1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞0时的情况．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3已知f(x)＝1ax－1＋12x3(a＞0且a≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．【解】(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．对于定义域内任意x，有f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1ax－1＋12x3＝f(x)．∴f(x)是偶函数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f(x)＞0，即1ax－1＋12x3＞0，即1ax－1＋12＞0，即ax＋12ax－1＞0，即ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0.又∵x＞0，∴a＞1.因此a＞1时，f(x)＞0.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）一种关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两点注意1.指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常分0a1和a1进行分类讨论．2．换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，－1，1a.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）从近两年高考看，本节多以指数函数为载体，考查指数运算和指数函数的图象与性质的应用；题型以选择题、填空题为主，预测2015年仍延续这一特点，对指数函数与不等式结合的题目，应特别重视引起．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）思想方法之五利用指数函数的单调性解不等式(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为xx＜－1或x＞12，则f(10x)＞0的解集为()A．{x|x＜－1或x＞－lg2B．{x|－1＜x＜－lg2}C．{x|x＞－lg2}D．{x|x＜－lg2}菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由题意知，一元二次不等式f(x)＞0的解集为x|－1＜x＜12.而f(10x)＞0，∴－1＜10x＜12，解得x＜lg12，即x＜－lg2.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）易错提示：(1)不知道由f(x)＜0的解集求出f(x)＞0的解集，再通过代换得到与f(10x)＞0同解的不等式求解，而试图去求f(x)的解析式，由于求解过程较繁而致误．(2)误认为y＝10x是减函数，造成错选C.防范措施：(1)已知不等式f(x)＞0的解集为A，求不等式f(g(x))＞0的解集，可由g(x)∈A构建关于x的不等式求解．(2)在研究与指数函数或对数函数的单调性相关的问题时，要注意对底数的讨论．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(2012·四川高考)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】当a1时，y＝ax－1a为增函