高三一轮总复习理科数学新课标第2章-第8节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第八节函数与方程考纲传真结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得.f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)0(a，b)f(x0)＝0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点无交点零点个数210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac0时没有零点()(4)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是()A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点【解析】由题意知，函数f(x)在区间[2,16)上无零点，故选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34【解析】显然f(x)＝ex＋4x－3的图象连续不间断，又f12＝e－1＞0，f14＝4e－2＜0.∴由零点存在定理知，f(x)在14，12内存在零点．【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系内作出与y2＝12x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数只有1个零点．4．(2012·北京高考)函数的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2014·山东实验中学模拟)函数f(x)＝(x＋1)lnx的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(x＋1)lnx＝0得lnx＝0，解得x＝1，即函数f(x)的零点只有1个，故选B.【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1函数零点的求解与判断【例1】(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【思路点拨】将函数零点个数的判断转化为两个函数图象交点个数的判断．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.函数零点的判断常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.2．(1)求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f(x)＝0；从几何角度思考就是研究其图象与x轴交点的横坐标；(2)本题的求解过程，其实质就是转化过程，应注意两点：①转化的方式：变形；②转化的方向，由数到形．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(2014·烟台模拟)如图2－8－1是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f(x)′的零点所在的区间是()图2－8－1A.14，12B．(1,2)C.12，1D．(2,3)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由函数图象可知0b1，f(1)＝0，从而－2a－1，f′(x)＝2x＋a，所以g(x)＝lnx＋2x＋a，函数g(x)＝lnx＋2x＋a在定义域内单调递增，g12＝ln12＋1＋a0，g(1)＝ln1＋2＋a0，所以函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是12，1，故选C.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2函数零点的应用【例2】(1)(2014·潍坊模拟)已知x0是f(x)＝12x＋1x的一个零点，x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0(2)(2014·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的根，求a的取值范围．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)在同一坐标系内画出函数y＝12x与y＝－1x的图象，确定x1，x2的位置，从而确定f(x1)与f(x2)的正负；(2)先作出函数f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)在同一坐标系下作出函数f(x)＝12x，f(x)＝－1x的图象，由图象可知当x∈(－∞，x0)时，12x－1x，x∈(x0,0)时，12x－1x，所以当x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有f(x1)0，f(x2)0，选C.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】C(2)由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，所以函数关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足a1，f62，f102，如图，即a1，loga62，loga102，解得6a10.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法2已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2013·武汉模拟)设函数f(x)＝log3x＋2x－a在区间(1,2)内有零点，试求实数a的取值范围．【解】由题意知方程log3x＋2x＝a在区间(1,2)上有解，由1＜x＜2得2＜x＋2x＜3，∴log32＜log3x＋2x＜1，∴a∈(log32,1)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）两点注意1.函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）三种方法判断函数零点个数的常用方法1．通过解方程来判断．2．根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．3．将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）从近两年高考试题看，函数的零点，方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归、数形结合的数学思想，同时函数零点的创新应用，则是高考命题的生长点．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）创新探究之二函数零点的创新应用(2013·天津高考)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)＜0＜f(b)B．f(b)＜0＜g(a)C．0＜g(a)＜f(b)D．f(b)＜g(a)＜0菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由f′(x)＝ex＋10知f(x)是R上的增函数，因为g(x)的定义域为(0，＋∞)，所以g′(x)＝1x＋2x0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以0a1，因为g(1)＝－20，g(2)＝ln2＋10，所以1b2，所以f(b)0，g(a)0，即f(b)0g(a)，故选A.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）创新点拨：(1)本题以函数的零点为背景，综合考查函数的导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知识点具有隐蔽性是本题的最大特色．(2)本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生的分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）应对措施：(1)本题中由等量关系到不等关系的转化，暗示我们应从函数的单调性着手，进而需明确a，b的大小关系．(2)由a，b分别是函数f(x)与g(x)的零点，进而想到函数的零点存在性定理或数形结合确定a，b的大小关系．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(2013·重庆高考)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分