高三一轮总复习理科数学新课标第3章-第2节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲传真1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：．sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα(α≠π2＋kπ，k∈Z)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα－tanα菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角()(2)cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cosθ＝13()(3)若α≠kπ2(k∈Z)，则tanπ2＋α＝－1tanα()(4)若sinα＋cosα＝1，那么有sinnα＋cosnα＝1()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由诱导公式，知(1)(2)不正确．当α≠kπ2时，tanπ2＋α＝sinπ2＋αcosπ2＋α＝cosα－sinα＝－1tanα，(3)正确．由sinα＋cosα＝1，知α＝2kπ或α＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴sinnα＋cosnα＝1，(4)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－1213B.1213C.512D．±1213【解析】∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－513，∴cosα＝513，又α是第四象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－1－cos2α＝－1213.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3【解析】由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·广东高考改编)已知sin5π2＋α＝15，则sinα＝________.【解析】由sin5π2＋α＝cosα＝15，∴sinα＝±1－cos2α＝±256.【答案】±256菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝________.【解析】sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ－2tan2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.【答案】45菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1同角三角函数关系式的应用【例1】(1)已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝________.(2)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.25B．－25C．－2D．2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)由平方关系，求cosα，进而利用二倍角公式求值．(2)先根据已知条件求得tanα，再将待求式变形为分子、分母关于“弦函数”的二次齐次求解．【尝试解答】(1)∵α为第二象限角且sinα＝35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×35×(－45)＝－2425.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得tanα＋33－tanα＝5，解之得tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.【答案】(1)－2425(2)A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(2013·课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.【解析】∵tanθ＋π4＝12，∴1＋tanθ1－tanθ＝12，解得tanθ＝－13.∴(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ＋1tan2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）∵θ为第二象限角，tanθ＝－13，∴2kπ＋3π4＜θ＜2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ＜0，∴sinθ＋cosθ＝－105.【答案】－105菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2诱导公式的应用【例2】已知f(α)＝sinα－π2·cos3π2＋α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π，(1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，且α是第三象限角，求f(α)的值．【思路点拨】(1)直接利用诱导公式化简约分．(2)利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)f(α)＝sinα－π2·cos3π2＋α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π＝－cosα·sinα·－tanα－tanα·sinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα，∴－sinα＝15，即sinα＝－15.又α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2014·郑州质检)已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值为________．【解析】∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）sin3π－α＋cosα＋π5cos52π－α＋3sin72π－α＝sin3α－cosα5sinα－3cosα＝8cos3α－cosα7cosα＝87cos2α－17＝335.【答案】335菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3sinα±cosα与sinα·cosα的关系【例3】(2014·扬州模拟)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．【思路点拨】(1)利用平方关系，设法沟通sinx－cosx与sinx＋cosx的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.由－π＜x＜0，知sinx＜0，又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－75.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.第(1)问应注意x的范围对sinx－cosx的符号的影响．事实上根据条件可进一步判定x∈(－π2，0)．2．(1)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3(1)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1(2)(2013·青岛评估)若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA＝________.【解析】(1)∵sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，∴1－2sinαcosα＝2，则sin2α＝－1.因此2α＝32π，则tanα＝tan34π＝－1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)在△ABC中，sin2A＝2sinAcosA＝230.∴A∈0，π2，则sinA＋cosA0.又(sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA＝53，故sinA＋cosA＝153.【答案】(1)A(2)153菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．两个防范1.