高三一轮总复习理科数学新课标第3章-第3节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第三节三角函数的图象与性质考纲传真1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的．f(x＋T)＝f(x)最小最小正周期菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRx≠kπ＋π2，k∈Z值域R[－1,1][－1,1]菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性递增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z递减区间：2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z递增区间：[2kπ－π，2kπ]递减区间：[2kπ，2kπ＋π]递增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心对称中心kπ＋π2，0k∈Z对称中心kπ2，0k∈Z对称轴x＝对称轴lx＝无对称轴周期2π2ππ(kπ，0)k∈Zkπ＋(k∈Z)kπ(k∈Z)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期()(2)函数y＝cosx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数()(4)函数y＝sinx＋32πcosx是奇函数()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】依据三角函数的性质，(1)正确，(2)、(3)错误．∵y＝sinx＋32πcosx＝－cos2x为偶函数，(4)不正确．【答案】(1)√(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)函数y＝tan3x的定义域为()A．{x|x≠3π2＋3kπ，k∈Z}B．{x|x≠π6＋kπ，k∈Z}C．{x|x≠－π6＋kπ，k∈Z}D．{x|x≠π6＋kπ3，k∈Z}【解析】由3x≠π2＋kπ，k∈Z得x≠π6＋kπ3，k∈Z，故选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点，故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.取k＝－1，则x＝－π4.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·江苏高考)函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期为________．【解析】函数y＝3sin2x＋π4的最小正周期T＝2π2＝π.【答案】π菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2013·浙江高考改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．【解析】若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cosφ＝0，所以φ＝π2＋kπ(k∈Z)，故φ＝π2不成立．若φ＝π2，f(x)＝Acos(ωx＋π2)＝－Asin(ωx)f(x)是奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．【答案】必要不充分菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1三角函数的定义域和值域【例1】(1)函数f(x)＝1＋log12x＋tanx＋π4的定义域是________．(2)(2014·济南调研)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)转化为关于x的不等式组求解；(2)先求π6x－π3的范围，结合三角函数的单调性求最值．【尝试解答】(1)依题意1＋log12x≥0，x＋π4≠kπ＋π2k∈Z.∴0＜x≤2，且x≠kπ＋π4(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域是{x|0＜x≤2，且x≠π4}．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴－32≤sin(π6x－π3)≤1，则－3≤y≤2.∴ymax＋ymin＝2－3.【答案】(1){x|0＜x≤2，且x≠π4}(2)A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．【解析】由π6≤x≤7π6，知－12≤sinx≤1.又y＝3－sinx－2cos2x＝2sin2x－sinx＋1＝2(sinx－14)2＋78，∴当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝1或－12时，ymax＝2.【答案】782菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2三角函数的单调性【例2】(2013·安徽高考)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．【思路点拨】(1)化为正弦型函数，由周期求ω；(2)讨论f(x)的单调性时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个整体放入正弦的增区间内解出x即为增区间，不要忽略定义域．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2＜2x＋π4≤5π4，即π8＜x≤π2时，f(x)单调递减．故f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化为x的系数正数，以防止把单调性弄错．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．【解】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)递增区间为[kπ－π8，kπ)和(kπ，kπ＋3π8](k∈Z)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例3】(1)(2012·课标全国卷)已知ω0,0φπ，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.π4B.π3C.π2D.34π(2)(2013·湖北高考改编)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得f(x)的图象，若y＝f(x)是偶函数，则m的最小值是________．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)由对称轴确定周期，求ω，进而由φ的范围得φ值．(2)借助图象变换，求y＝f(x)的解析式，利用奇偶性求解．【尝试解答】(1)∵x＝π4和x＝5π4是函数y＝f(x)图象相邻的对称轴．∴T＝2πω＝25π4－π4，则ω＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)，从而fπ4＝±1，得π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，又0φπ，故φ＝π4.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)y＝3cosx＋sinx＝2cosx－π6，∴平移后得y＝2cosx＋m－π6，且图象关于y轴对称则m－π6＝kπ(k∈Z)，令k＝0，得m＝π6(m0)．∴m的最小值是π6.【答案】(1)A(2)π6菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3(1)已知函数f(x)＝sinπx－π2－1，则下列说法正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数