高三一轮总复习理科数学新课标第3章-第4节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用考纲传真1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时AT＝f＝1T＝ωx＋φφ2πωω2π菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωπ23π2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3.由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)作函数y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)这五个点()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(3)将y＝3sin2x的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4(4)函数y＝2sinx2－π4的频率为4π，初相为π4()【解析】由图象变换和“五点作图”法知(1)、(2)、(3)均不正确．(4)y＝2sinx2－π4的频率为1T＝14π，初相为－π4.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3【解析】由题意知f(0)＝2sinφ＝1，∴sinφ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T＝6，故选A.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位【解析】∵y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋12)，∴只要将函数y＝cos2x的图象向左平移12个单位．【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则φ＝________.图3－4－1【解析】由图象知A＝1，T＝4712π－π3＝π，∴ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.【答案】－π6菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2013·课标全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin2x＋π3的图象重合，则φ＝________.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y＝cos2x－π2＋φ的图象，得y＝cos(2x－π＋φ)．∵其图象与y＝sin2x＋π3的图象重合，∴φ－π＝π3－π2＋2kπ，∴φ＝π3＋π－π2＋2kπ，即φ＝5π6＋2kπ.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝5π6.【答案】5π6菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】(1)(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C．0D．－π4(2)已知函数f(x)＝sin2x＋π3.①求函数y＝f(x)的单调递增区间；②画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)写出平移后函数的解析式，利用奇偶性求φ；(2)列出x∈[0，π]上的影响y＝f(x)图象关键点，作出简图．【尝试解答】(1)平移后函数y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ，又函数y＝sin2x＋π4＋φ为偶函数，∴π4＋φ＝kπ＋π2，φ＝kπ＋π4(k∈Z)．取k＝0，有φ＝π4，选B.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】B(2)①由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，∴所求单调增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）②∵0≤x≤π，∴π3≤2x＋π3≤7π3.列表如下：2x＋π3π3π2π3π22π7π3x0π12π37π125π6πy3210－1032画出图象如图所示．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.(1)如何由y＝2sinx的图象，得到y＝f(x)的图象．(2)用“五点法”在给定的坐标系中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【解】f(x)＝cos2x－sin2x＝222cos2x－22sin2x＝2cos2x＋π4＝2sin2x＋3π4，(1)将y＝2sinx的图象向左平移3π4个单位，得y＝2sinx＋3π4的图象；再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得y＝f(x)的图象．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)列表：2x＋3π43π4π3π22π5π211π4x0π83π85π87π8πf(x)10－2021作出函数y＝f(x)的图象如图所示：菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．【例2】(2014·深圳模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图3－4－2所示，则f(0)的值是________．图3－4－2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】观察函数f(x)的图象特征，可求A、T，根据图象过定点可求φ，最后求f(0)．【尝试解答】由图象知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，T＝π，又T＝2πω，∴ω＝2，根据函数图象的对应关系，得2×π3＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z.令k＝0，取φ＝π3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】62∴函数解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，∴f(0)＝2sinπ3＝62.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.本题求f(0)的关键是求参数“φ”值，常用方法有：(1)代入法，(2)“五点法”．2．用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的峰(谷)点或第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，|φ|π2，ω0)的图象的一部分如图3－4－3所示．图3－4－3(1)求f(x)的表达式；(2)试求曲线y＝f(x)的对称轴方程．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解】(1)由图象知A＝2，f(0)＝1，∴2sinφ＝1，sinφ＝12，又|φ|π2，且点(0,1)处在上升波段上，∴φ＝π6，又f11π12＝0，从而代入可知ω＝2.因此f(x)＝2sin2x＋π6.(2)由(1)，令2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z.∴x＝kπ2＋π6(k∈Z)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用【例3】(2013·山东高考)设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】第一问先利用倍角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再利用图象研究周期关系，从而确定ω.第二问在限制条件下求最值，需要利用不等式的性质求出2x－π3的范围，再进行求解．【尝试解答】(1)f(x)＝32－3sin2ωx－sinωxcosωx＝32－3·1－cos2ωx2－12sin2ωx＝32cos2ωx－12sin2ωx＝－sin2ωx－π3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3.所以－32≤sin2x－π3≤1.则－1≤f(x)≤32.故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典