第六节 克拉默法则

第六节克拉默法则类似的求解公式在本章的第一节,列式以后,记忆的求解公式.定义了n阶行列式以后,含有n个未知数n个方程的线性方程组,引言我们在引进了二阶、三阶行得到了二元、三元线性方程组的很好对于也有——克拉默法则.现在讨论含有n个未知数x1,x2,…xn的n个线性方程的方程组aij称为线性方程组的系数,bi称为线性方程组的常数项。+++11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb由它的系数组成的n阶行列式称为n元线性方程组的系数行列式。111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa+++11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb克拉默法则的系数行列式不等于零,一、克拉默（Cramer）法则如果线性方程组即+++11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb则方程组有唯一的解,DDx11,,DDx22,DDxnn1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa，nnn,jnn,jnn,j,jjaabaaaabaaD11111111111其中Dj(j=1,2,…,n)是系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即证明注意：1.此定理共有三个结论：（1）方程组有解；（2）解唯一；（3）方程组的解由定理中的公式给出。2.此法则讨论的是系数行列式不等于零的线性方程组,当系数行列式等于零时,当系数行列式不等于零时只有当系数行列式不等于零时才能用该法则.克拉默法则失效！例1解线性方程组-+---+=--+123412423412342583692254760xxxxxxxxxxxxxx解-+---+=--+123412423412342583692254760xxxxxxxxxxxxxx系数行列式21511306021214-76D12422rrrr075131306021207-7127-513-2-127-712故由克拉默法则知方程组有唯一解.7-513-2-127-712123222cccc-3-53-0-10-7-7-233=-7-2=2701=D21511306021214-76D89-5081519306-521204-762=D285119060-51210-76=81=-10832181139602521406D421581309021-514-70D=-27=27故由克拉默法则中所给的公式可知：D=27,D1=81,D2=-108,D3=-27,D4=2711DxD8127=3，22DxD-10827=-4,33DxD-2727=-1,44DxD2727=1.的个数与未知量的个数不等时,通过上述例子,线性方程组时,计算量是相当大的,时,另外,法则求解.我们看到用克拉默法则求解要计算n+1个n阶行列式,所以在具体求解线性方程组很少用克拉默法则.当方程组中方程就不能用克拉默克拉默法则的局限性但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,常数项的关系.并且给出了方程组的解与方程组的系数和定理1如果线性方程组(1)的系数行列式D0,克拉默法则可叙述为下面的重要定理.二、方程组有解的条件定理1的逆否定理为:且解是唯一的.则(1)一定有解,定理1′如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.三、齐次线性方程组解的讨论当线性方程组(1)右端的常数项b1,b2,…,bn不全为零时,线性方程组(1)叫做非齐次线性方程组；当b1,b2,…,bn全为零时,线性方程组(1)叫做+++11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb齐次线性方程组.对于齐次线性方程组x1=x2=…=xn=0一定是它的解,齐次线性方程组(2)的零解.这个解叫做+++11112212112222112200(2)0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax定理2′如果齐次线性方程组(2)有非零解,齐次线性方程组(2)的非零解.齐次线性方程组(2)一定有零解,对于齐次线性方程组(2)有以下定理定理2如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D0,则它的系数行列式必为零.如果一组不全为零的数是(2)的解,则它叫做但不一定有非零解.则齐次线性方程组(2)没有非零解.即只有零解.例2问取何值时,齐次线性方程组有非零解？四、应用举例(5)2202(6)02(4)0xyzxyxz解由定理2′可知：若齐次线性方程组有非零解,则其系数行列式D=0.而由D=0，得所以当=2、5或8时,=2、=5或=8.方程组有非零解.(5)(6)(4)4(6)4(4)522260204D(5)2202(6)02(4)0xyzxyxz(5)(2)(8)(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,-3),a3。例3设曲线y=a0+a1x+a2x2+a3x3通过四点求系数a0,a1,a2,把四个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组,,,.01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa解其系数行列式为(41)(31)(21)(42)(32)(43)32121112,,,.01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa1111124813927141664D111112341491618276413111424833927341664D36，21311144813927131664D-18，≠0,由克拉默法则可知，方程组有唯一解。,,,.01230123012301233248439273416643aaaaaaaaaaaaaaaa3113112481332714364D24，411131244139314163D-6.D12,D2=-18,D1=36,D3=24,D4=-6,且3a0=,a1=,a2=,a3=,-3/22-1/2故所求曲线为.23313222yxxx例4讨论为何值时,线性方程组有唯一解,并求出其解.12312321231xxxxxxxxx解方程组的系数行列式111111D=2(1)(2),由此可知,有唯一解.当λ≠1且λ≠-2时D0,111111D=2(1)(2),1211111D=2(1)(1),2211111D=2(1),3211111D=2(1)(1).这时方程组12312321231xxxxxxxxx所以222123(1)(1),(1),(1)(1).DDD2(1)(2),D212(1)(1)(1)(2)x222(1)(1)(2)x232(1)(1)(1)(2)x12,12,12.主要内容克拉默法则线性方程组有解的条件齐次线性方程组解的讨论第六节克拉默法则再见