第六节 一致收敛

函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质机动目录上页下页返回结束第十一章一、函数项级数的一致收敛性幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则不一定有这么好的特点.例如,级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在[0,1]上都连续,其前n项之和为,)(nnxxS和函数)(lim)(xSxSnn10x,01x,1该和函数在x＝1间断.机动目录上页下页返回结束因为对任意x都有:),2,1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为(－∞,+∞),但逐项求导后的级数xnxx22cos2coscos其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.又如,函数项级数问题:对什么样的函数项级数才有:逐项连续和函数连续;逐项求导=和函数求导;逐项积分=和函数积分机动目录上页下页返回结束定义.设S(x)为)(1xunn若对都有一个只依赖于的自然数N,使当nN时,对区间I上的一切x都有)()()(xSxSxrnn则称该级数在区间I上一致收敛于和函数S(x).在区间I上的和函数,任意给定的0,显然,在区间I上)(1xunn一致收敛于和函数S(x)部分和序列)(xSn一致收敛于S(x)余项)(xrn一致收敛于0机动目录上页下页返回结束几何解释:(如图))(xSy)(xSyIx)(xSy,0,ZN当nN时,表示)()(xSxSn曲线)()(xSyxSy与总位于曲线)(xSyn)(xSyn之间.机动目录上页下页返回结束例1.研究级数)1)((1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间[0,+∞)上的收敛性.解:111)1)((1kxkxkxkx),2,1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx机动目录上页下页返回结束)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0(x余项的绝对值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0(x因此,任给0,取自然数,11N则当nN时有)0()(xxrn这说明级数在[0,+∞)上一致收敛于.11)(xxS机动目录上页下页返回结束例2.证明级数)()()(1232nnxxxxxxx在[0,1]上不一致收敛.证:nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10x,01x,1)()()(xSxSxrnn10x,nx1x,0取正数,21对无论多么大的正数N,,)(11210Nx取,]1,0[0x,)(2101xrN而因此级数在[0,1]上不一致收敛.机动目录上页下页返回结束yox说明:11nnnxxS)()(xS10x,01x,12n4n10n30n)1,1()(xS对任意正数r1,级数在[0,r]上一致收敛.事实上,因为在[0,r]上,)(nnrxr任给0,欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn,)(nnrxr必有即级数在[0,r]上一致收敛.机动目录上页下页返回结束维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出),()(xSxSn及这往往比较困难.下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数)(1xunn在区间I上满足:;),2,1()()1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数)(1xunn在区间I上一致收敛.简介目录上页下页返回结束证:由条件2),根据柯西审敛原理,,,0N当nN时,对任意正整数p,都有221pnnnaaa由条件1),对x∈I,有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数)(1xunn在区间I上一致收敛.证毕机动目录上页下页返回结束oxRRab推论.若幂级数nnnxa0的收敛半径R0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:},,max{bar设则对[a,b]上的一切x,都有),2,1,0(nraxannnn,0Rr而由阿贝尔定理(第三节定理1)级数nnnra0绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕机动目录上页下页返回结束例3.证明级数在(－∞,+∞)上一致收敛.证:),,(x因对任意而级数021nn收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在(－∞,+∞)上一致收敛.机动目录上页下页返回结束说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收敛性,而且能判别其绝对收敛性.当不易观察到不等式时，nnaxu)(可利用导数求)(maxxuanIxn例如,级数,1251xnxnn),,0[x,12111max232525),0[nnuxnxnann用求导法可得已知2311nn收敛,因此原级数在[0,+∞)上一致收敛.,1)(25xnxnxun机动目录上页下页返回结束二、一致收敛级数的基本性质定理1.若级数:)(1满足xunn,)(],[)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间.],[)(上连续在则baxS证:只需证明,],[0bax.)()(lim00xSxSxx由于)()(0xSxS)]()([)]()([00xrxSxrxSnnnn)()()()(00xrxrxSxSnnnn;],[)()1上连续在区间各项baxun机动目录上页下页返回结束因为级数)(1xunn一致收敛于S(x),N,0故),(N使当nN时,有3)(,3)(0xrxrnn对这样选定的n,,)(0连续在xxSn从而必存在0,有时当,0xx3)()(0xSxSnn从而得)()(0xSxS,)(0连续在故xxS).()(lim00xSxSxx即证毕机动目录上页下页返回结束说明:(1)定理1表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限求和运算可交换,即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2)若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数)1()1()1(12xxxxxxxn在区间[0,1]上处处收敛,而其和函数)(xS10x,01x,1在x=1处不连续.机动目录上页下页返回结束定理2.若级数:)(1满足xunn,)(],[)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间则该级数在[a,b]上可逐项积分,xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即对且上式右端级数在[a,b]上也一致收敛.证:因为xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;],[)()1上连续在区间各项baxun机动目录上页下页返回结束所以只需证明对任意),(],[,00xxbaxx一致有xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00根据级数的一致收敛性,),(,0NN使当nN时,有abxSxSn)()(于是,当nN时,对一切),(],[,00xxbaxx有xxSxxSxxnxxd)(d)(00xxSxSnxxd)()(0xxSxSnbad)()(因此定理结论正确.证毕机动目录上页下页返回结束说明:若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.例如,级数2222)1(221)1(22xnxnnexnexn它的部分和因此级数在[0,1]上收敛于S(x)=0,所以.0d)(10xxS但是xexnexnxnxnnd)1(222222)1(2211022)1(1nnnee110)(dxxS①为什么对级数①定理结论不成立?分析它是否满足机动目录上页下页返回结束定理2条件.级数的余项2222)(xnnexnxr,10时当nx)2(12)(0nenxrn可见级数①在[0,1]上不一致收敛,此即定理2结论对级数①不成立的原因.机动目录上页下页返回结束定理3.若级数满足：)(1xunn,],[)()31上一致收敛在级数baxunn)()(1xuxSnn且可逐项求导,即;),2,1(],[)()2nbaxun上连续在,],[)(1上一致收敛在区间则baxunn;)(],[)1xSba上收敛于在区间证:先证可逐项求导.),()(1xxunn设根据定理2,机动目录上页下页返回结束有对,],[baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式两边对x求导,得).()(xxS再证.],[)(1上一致收敛在baxunn根据定理2,,],[d)(1上一致收敛在级数baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn机动目录上页下页返回结束)(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.],[上一致收敛在ba级数一致收敛并不保证可以逐项求导.例如,例3中的级数说明:在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数xnxx22cos2coscos其一般项不趋于0,所以对任意x都发散.证毕机动目录上页下页返回结束例4.证明函数31sin)(nnxxfn对任意x有连续导数.解:显然所给级数对任意x都收敛,且每项都有连续导数,而逐项求导后的级数31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收敛nn故级数②在(－∞,+∞)上一致收敛,故由定理3可知.cos)(21nnxxfn②再由定理1可知.),()(上连续在xf机动目录上页下页返回结束定理4.若幂级数的收敛半径nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证:关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理1,2立即可得.下面证明逐项可导的结论:机动目录上页下页返回结束证:.),(10内收敛在先证级数RRxannnn),,(RRx任取,,11Rxxx使再取定,11xxq记则1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值审敛法知级数,10收敛nnqn故,0lim1nnqn,1有界因此nqn故存在M0,使得),2,1(111nMqnxn,01Rx又,10收敛级数nnnxa由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束.11收敛级数nnnxan),(11RRxannnn在因为幂级数],[ba上一致收敛,故原级数],[0baxannn在内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,,],[的任意性再由ba即知),(,110RRxxanxannnnn