第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程

第六章微分方程第六节二阶常系数非齐次微分方程上一页下一页返回学习要求•了解二阶常系数非齐次微分方程的概念。•掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法。上一页下一页返回定义：形如''',ypyqyfxpqR（其中0fx）的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程。一、二阶常系数非齐次微分方程的定义性质：若函数Y是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，函数*y是二阶常数系非齐次线性微分方程的一个特解。则*Yy是二阶常系数非齐次线性微分方程的通解。所以求非齐次微分方程的通解，只需求对应的齐次微分方程的通解，及非齐次微分方程的一个特解即可上一页下一页返回二、二阶常系数非齐次微分方程的通解1.xmmfxPxePxm为次多项式特解的形式与的值及m有关。可设*(),kxmyxeQx01,2k不是特征根是特征单根是特征重根.mQxm为次多项式的一般式上一页下一页返回例如：22''2'3xyyyxe特征方程2230rr123,1rr2不是特征根∴非齐次方程的一个特解可设为0k*y0x2axbxc2xe例如：2''2'3xyyyxe1是特征单根1k∴非齐次方程的一个特解可设为*y2axbxcxex上一页下一页返回例如：2'''yyx0xe特征方程20rr120,1rr0是特征单根∴非齐次方程的一个特解可设为1k*y2axbxc0ex例如：''2'3xyyye1是特征单根1k∴非齐次方程的一个特解可设为*yaxexxaxe上一页下一页返回.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxeCeCY是单根，2例11k∴设非齐次方程的一个特解为*yxaxb2xe则*222'222xxyaxbeaxbxe22222xaxbxaxbe*2''422xyaxbae224442xaxbxaxbe2248424xaxaxbxabe上一页下一页返回''3'2yyy2248424xaxaxbxabe223222xaxbxaxbe222xaxbxe22223xxaxabexe2120aab121ab*2212xyxxe原方程通解为2221212xxxyCeCexxe上一页下一页返回002'''232'3xxxyyyeyy例：求微分方程的满足初始条件和的特解。解：对应的特征方程为220rr1212rr，∴齐次线性方程的通解为212xxyCeCe1是特征单根1k∴设非齐次方程特解为*,xyaxe*'xxyaeaxe*''xxxyaeaeaxe***'''2yyy2xxxxxxaeaeaxeaeaxeaxe3xae3xe1a上一页下一页返回∴特解为*xyxe∴原方程通解为212xxxyCeCexe212'2xxxxyCeCexee212''42xxxxyCeCexee002;'3xxyy1212212423CCCC1211CC∴所求特解为2xxxyeexe上一页下一页返回2.cossinxfxAxBxe特解的形式与的值及ω有关。可设*(cossin)kxyxeaxbx,abkZ（其中是待定常数，）(1)0irk当不是特征根时，(2)1irk当是特征根时，上一页下一页返回例如：2''2'3cos3xyyyex特征方程2230rr123,1rr2,3不是特征根∴非齐次方程的一个特解可设为0k*y0xcos3sin3axbx2xe例如：''2'22cossinxyyyexx23ii特征方程2220rr1,21ri1,1是特征根1k1ii∴非齐次方程的一个特解可设为*yxcossinaxbxxe上一页下一页返回例如：''sinyyx0xe特征方程210r1,2ri0,1是特征单根∴非齐次方程的一个特解可设为1k*ycossinaxbx0ex例如：''2cos2yyxii0,2不是特征单根∴非齐次方程的一个特解可设为0k*ycos2sin2axbx2ii上一页下一页返回4sin.yyx求方程的通解例3解：特征方程为：210r1,2ri所以对应齐方通解12cossin,YCxCx0,1ii是特征根1k设方程特解为*cossinyxaxbx*'cossinsincosyaxbxxaxbx*''2sincoscossinyaxbxxaxbx**''yy2sincosaxbx4sinx上一页下一页返回所求非齐方程特解为*2cos,yxx原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy2420ab20ab上一页下一页返回.2cos的通解求方程xxyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY作辅助方程,2ixxeyy,2不是特征方程的根i,)(2*ixeBAxy设代入辅助方程13034ABAi,9431iBA，,)9431(2*ixeixy例5上一页下一页返回)2sin2)(cos9431(xixix所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx（取实部）