第六节 多元函数的极值

实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570yx7680每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.二、多元函数的极值和最值(1)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yxz例２处有极大值．在函数)0,0(22yxz例３处无极值．在函数)0,0(xyz-10-50510x-10-50510y-10-50z-10-50510x-10-50510x-10-50510y-100-50050100xy-10-50510x定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.2、多元函数取得极值的条件推广如果三元函数),,(zyxfu在点),,(000zyxP具有偏导数，则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz.不妨设),(yxfz在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意),(yx),(00yx都有),(yxf),(00yxf,证故当0yy，0xx时，有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数),(0yxf在0xx处有极大值,必有0),(00yxfx;类似地可证0),(00yxfy.例如,点)0,0(是函数xyz的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点＋一阶偏导数问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，0000000000200002002(,)0,(,)0(,),(,),(,)(1)0,0,(,)(,)0,(,)(,)(2)0,(,)(,)(3)0,xyxxxyyyfxyfxyAfxyBfxyCfxyBACAfxyxyAfxyxyBACfxyxyBAC又令则当时在取极小值；时在取极大值；当时在没有极值；当时不能判别。3322(,)339fxyxyxyx例4：讨论的极值22y:3690f-3y6y0xfxx解2,0y3,1x驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)xyyy66,Bf0,Cf66xxAfxy在(1,0)处A=120,B=0,C=60612ACB2在(1,0)处取得极小值-5在(1,2)处A=120,B=0,C=-60612ACB2在(1,2)处没有极值在(-3,0)处A=-12,B=0,C=60612ACB2在(-3,0)处没有极值在(-3,2)处A=-120,B=0,C=-60612ACB2在(-3,2)处取得极大值31求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值例5求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解先求函数在D内的驻点，xyo6yxDD如图,解方程组222(,)2(4)0(,)(4)0xyfxyxyxyxyfxyxxyxy得区域D内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(f,再求),(yxf在D边界上的最值，在边界0x和0y上0),(yxf,在边界6yx上，即xy6于是)2)(6(),(2xxyxf,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.xyo6yxD24(6)20xfxxx由1212112212,,,,240.2,100.05,3540(),ppqqqpqpCqq例6：某厂商生产同一产品同时在两个市场销售，售价分别为销售量分别为需求函数分别为总成本函数问厂家如何订价才能使利润最大？)qq(4035qpqpCRL:212211解1395p12p32p05.0p2.021222112120.43200.1120ppLpLp120p,80p21111222pppp0.40,Bf0,Cf0.1ppAf004.0ACB2121280,12080,120pppp时L取得极大值，又驻点唯一，因此可以断定利润最大.三.条件极值方法：拉格朗日乘数法作拉格朗日函数(,(,)(,)Lxyfxyxy）1.求z=f(x,y)在满足约束条件下的极值0),(yx00(,)0xxxyyyLfLfxy,(,)xyxy解出及，得到的就是可能极值点拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(tzyxfu在条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，先构造函数),,,(),,,(tzyxftzyxF),,,(),,,(21tzyxtzyx其中21,均为常数，可由偏导数为零及条件解出tzyx,,,，即得极值点的坐标.2222zxyzccab例7：在与围成的立体中嵌人有最大体积的长方体，求该长方体的长，宽，高。M(x,y,z)M(x,y,z)解:设M(x,y,z),则长、宽、高分别为2x,2y,c-z则V=4xy(c-z)满足2222byaxcz2222(,,)4()()zxyFxyzxyczcab令22222224()024()0400xyzxFyczayFxczbFxyczxycab2222(,,)4()()zxyFxyzxyczcab令2cz,2by,2ax所以：长、宽、高分别为a,b,c/2时长方体体积最大告策略。万元下求相应的最优广为告费用，在广告费用分别为电台及报纸的广售收入商品的广告，据统计销纸两种方式做销售某：某公司通过电台及报例5.1x,x,x10x2xx8x32x1415R721222121215.1xx:21解221212121212(,)1514328210(1.5)Lxxxxxxxxxx12211212148403282001.50xxLxxLxxxx5.1x,0x21228,(,)61642200012000xyLxyxxyy例：设某工厂生产甲乙两种产品，厂量分别为（千件）利润为。已知生产每千件产品需消耗原料公斤，现有该原料公斤，问两种产品各生产多少千件时总利润最大？最大利润为多少？6yx12000)yx(2000:解22(,)61642(6)Fxyxxyyxy620168060xyFxFyFxy511y,519x1911111,,555xy由实际问题可知当时利润最大为万元多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结思考题若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，则),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？思考题解答不是.例如22),(yxyxf,当0x时，2),0(yyf在)0,0(取极大值;当0y时，2)0,(xxf在)0,0(取极小值;但22),(yxyxf在)0,0(不取极值.一、填空题:1、函数)4)(6(),(22yyxxyxf在_______点取得极_________值为___________.2、函数xyz在附加条件1yx下的极______值为_____________.3、方程02642222zyxzyx所确定的函数),(yxfz的极大值是___________,极小值是_____________.二、在平面xoy上求一点,使它到0,0yx及0162yx三直线的距离平方之和为最小.三、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.练习题四、在第一卦限内作球面1222zyx的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标.一、1、(3,2),大,36；2、大,41；3、7,-1.二、)516,58(.三、当长,宽,高都是32a时,可得最大的体积.四、).31,31,31(练习题答案