第六节 定积分的应用

求旋转体的体积第五节定积分的应用第八章一旋转体的体积圆柱圆锥圆台如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为[,]xab取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积微元，xdxx)(xfyxo在上任取小区间[,]ab[,]xxdxxdxxfVba2)]([badxy22d[()]dVfxx类似的当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周所形成的立体体积为2)]([yyddcVxoy)(yxcdyayxb所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xyd2机动目录上页下页返回结束x例1由曲线方法2利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222ab32234ab102特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343a机动目录上页下页返回结束例2.求由曲线,直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积.yx1xxx解：选为积分变量，由旋转体的体积公式，得到120()xVxdx10xdx1022x2例3求由曲线，直线及轴所围成的图形分别绕轴，轴旋转一周所生成的旋转体的体积24xy1yyyxxxyy解：绕x轴旋转体的体积20222)4(21dxxVx240216xdy2502165x58绕y轴旋转体的体积y102)4(dyyVy104ydy10224y2xyoa2的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性2022)cos1(tattad)cos1(ttad)cos1(2033ttad2sin16063uuadsin322063332a6543212325aay)2(tu令例3计算摆线设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动目录上页下页返回结束上连续,1应用平行截面函数求旋转体体积xyoab)(xfy并与底面交成角,222Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束oRxyx例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，oRxy思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?),(yx)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22练习题1.求绕轴和轴旋转一周的旋转体的体积.xxyxy0,0,siny02022)2cos1(2sindxxxdxVx解：由公式有例20.求由星形线一周所得的旋转体的体积.解:利用公式有2720sin3cosVatatdt绕x轴旋转taytax33sin,cos379320326(sinsin)105attdta0t