运营维护方案(1)

§5.4平面向量的应用数学北（理）第五章平面向量基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔⇔.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．a＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．矢量加法和减法基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．题号答案解析12345C基础知识·自主学习C(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑y2＝8x(x≠0)226m/s题型分类·深度剖析题型一平面向量在平面几何中的应用【例1】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.思维启迪解析思维升华【例1】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.题型分类·深度剖析正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．题型一平面向量在平面几何中的应用思维启迪解析思维升华【例1】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.题型分类·深度剖析题型一平面向量在平面几何中的应用思维启迪解析思维升华证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0λ2)，则A(0,1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)，∴PA→＝(－22λ，1－22λ)，EF→＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|EF→|，即PA＝EF.【例1】如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.题型分类·深度剖析用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；题型一平面向量在平面几何中的应用(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．思维启迪解析思维升华跟踪训练1(1)平面上O，A，B三点不共线，设OA→＝a，OB→＝b，则△OAB的面积等于()A．|a|2|b|2－a·b2B．|a|2|b|2＋a·b2C．12|a|2|b|2－a·b2D．12|a|2|b|2＋a·b2题型分类·深度剖析C解析∵cos∠BOA＝a·b|a||b|，则sin∠BOA＝1－a·b2|a|2|b|2，∴S△OAB＝12|a||b|1－a·b2|a|2|b|2＝12|a|2|b|2－a·b2.跟踪训练1(2)在△ABC中，已知向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形题型分类·深度剖析A解析因为非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又cos∠BAC＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，所以∠BAC＝π3.所以△ABC为等边三角形．题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用【例2】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．思维启迪解析思维升华【例2】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华【例2】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析解(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，题型二平面向量在三角函数中的应用∴sin2A＝34，sinA＝32，∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.思维启迪解析思维升华(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos180°－B－A－3B2【例2】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－12cos2B＋32sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.【例2】已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．题型分类·深度剖析解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．题型二平面向量在三角函数中的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析跟踪训练2△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．5π6解析∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，又∵asinA＝bsinB＝csinC，则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，∵0Bπ，∴B＝5π6.【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．题型分类·深度剖析题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．题型分类·深度剖析(1)直接利用数量积的坐标运算代入；题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华(2)将PE→·PF→转化为关于y的函数，求函数的最值．【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．题型分类·深度剖析解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0，题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华得|PC→|2－14|PQ→|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．题型分类·深度剖析(2)∵PE→＝PN→＋NE→，PF→＝PN→＋NF→，又NE→＋NF→＝0.题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华∴PE→·PF→＝PN→2－NE→2＝x2＋(y－1)2－1＝16(1－y212)＋(y－1)2－1＝－13y2－2y＋16＝－13(y＋3)2＋19.【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．题型分类·深度剖析∵－23≤y≤23.∴当y＝－3时，PE→·PF→的最大值为19，题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华当y＝23时，PE→·PF→的最小值为12－43.综上：PE→·PF→的最大值为19；PE→·PF→的最小值为12－43.【例3】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(PC→＋12PQ→)·(PC→－12PQ→)＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE→·PF→的最值．题型分类·深度剖析平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．题型三平面向量在解析几何中的应用思维启迪解析思维升华跟踪训练3已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA→·AM→＝0，AM→＝－32MQ→，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．题型分类·深度剖析解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，