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数学北（理）第八章立体几何§8.4垂直关系基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内直线．②垂直于同一个平面的两条直线．③垂直于同一条直线的两平面．相交垂直任意平行平行基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫作二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．两个半平面垂直基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面．垂线交线题号答案解析12345DC基础知识·自主学习C②③(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维升华解析思维启迪第(1)问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；题型分类·深度剖析第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．题型一直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，题型分类·深度剖析∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.题型一直线与平面垂直的判定与性质思维启迪思维升华解析【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.题型分类·深度剖析由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.题型一直线与平面垂直的判定与性质思维启迪思维升华解析【例1】如图所示，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪思维升华解析(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．题型分类·深度剖析(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．题型一直线与平面垂直的判定与性质跟踪训练1如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.题型分类·深度剖析在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例2】(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维升华解析思维启迪(1)平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；题型分类·深度剖析(2)由BE∥AD可得线面平行；(3)证明直线CD⊥平面BEF.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪思维升华解析证明(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.题型分类·深度剖析∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.题型二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.题型分类·深度剖析(3)∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.题型二平面与平面垂直的判定与性质思维启迪思维升华解析【例2】(2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.思维启迪思维升华解析(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．题型分类·深度剖析(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．题型二平面与平面垂直的判定与性质跟踪训练1(2012·江西)如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．题型分类·深度剖析(1)证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，题型分类·深度剖析所以四边形CDEF为矩形．由GD＝5，DE＝4，得GE＝GD2－DE2＝3.由GC＝42，CF＝4，得FG＝GC2－CF2＝4，所以EF＝5.在△EFG中，有EF2＝GE2＋FG2，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)解如图，在平面EGF中，题型分类·深度剖析过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝EG·GFEF＝125.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝13S矩形CDEF·GH＝16.题型三直线、平面垂直的综合应用【例3】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例3】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．思维升华解析思维启迪(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.题型分类·深度剖析(2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．题型三直线、平面垂直的综合应用【例3】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪思维升华解析(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2.∴AD⊥BD.题型分类·深度剖析又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.题型三直线、平面垂直的综合应用【例3】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．题型分类·深度剖析(2)解过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，题型三直线、平面垂直的综合应用思维启迪思维升华解析∴四边形ABCD为梯形．【例3】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．题型分类·深度剖析∴S四边形ABCD＝25＋452×855＝24.∴VP—ABCD＝13×24×23＝163.题型三直线、平面垂直的综合应用思维启迪思维升华解析【例3】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪思维升华解析垂直关系综合题的类型及解法题型分类·深度剖析(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助