【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.2等差数列及其前n项和课件 理 北师大版

数学北（理）第六章数列§6.2等差数列及其前n项和基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．等差数列的定义如果一个数列，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.3．等差中项如果，那么A叫作a与b的等差中项．从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数公差dan＝a1＋(n－1)dA＝a＋b2基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为的等差数列．(n－m)dak＋al＝am＋an2dmd基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最____值；若a10，d0，则Sn存在最____值．na1＋an2na1＋nn－12d大小题号答案解析12345BC基础知识·自主学习B(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)√夯实基础突破疑难夯基释疑－49【例1】在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．题型一等差数列的基本运算思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析【例1】在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．思维升华解析思维启迪等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．题型分类·深度剖析题型一等差数列的基本运算【例1】在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型一等差数列的基本运算解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N＋，故k＝7.【例1】在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．思维启迪思维升华解析(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．题型分类·深度剖析(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．题型一等差数列的基本运算跟踪训练1(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于()A．12B．13C．14D．15(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6等于()A．16B．24C．36D．48(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A．12B．1C．2D．3题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析解析(1)由题意得S5＝5a1＋a52＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.(2)∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.(3)∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.答案(1)B(2)D(3)C题型分类·深度剖析题型二等差数列的性质及应用【例2】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A．2013B．－2013C．－4026D．4026【例2】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A．2013B．－2013C．－4026D．4026题型分类·深度剖析题型二等差数列的性质及应用思维启迪(1)根据S3，S6－S3，S9－S6为等差数列解此题；(2)利用a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2求n；(3)数列{Snn}为等差数列．【例2】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A．2013B．－2013C．－4026D．4026题型分类·深度剖析题型二等差数列的性质及应用解析(1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝na1＋an2＝n·602＝390，即n＝13.【例2】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A．2013B．－2013C．－4026D．4026题型分类·深度剖析题型二等差数列的性质及应用(3)由等差数列的性质可得{Snn}也为等差数列．又∵S20142014－S20082008＝6d＝6，∴d＝1.故S20132013＝S11＋2012d＝－2014＋2012＝－2，∴S2013＝－2×2013＝－4026，故选C.答案(1)B(2)A(3)C【例2】(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2013等于()A．2013B．－2013C．－4026D．4026题型分类·深度剖析题型二等差数列的性质及应用思维升华在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Snn}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．跟踪训练2(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，题型分类·深度剖析C60∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型三等差数列的前n项和及其最值【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．思维升华解析思维启迪题型分类·深度剖析题型三等差数列的前n项和及其最值(1)由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．思维启迪思维升华解析题型分类·深度剖析题型三等差数列的前n项和及其最值解(1)方法一∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，∴d＝－53.∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653.∴a13＝0，即当n≤12时，an0，n≥14时，an0，∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋12×112×－53＝130.【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．题型分类·深度剖析题型三等差数列的前n项和及其最值方法二同方法一求得d＝－53.∴Sn＝20n＋nn－12·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.思维启迪思维升华解析【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．题型分类·深度剖析题型三等差数列的前n项和及其最值方法三同方法一求得d＝－53.又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14