【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章 12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理

§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布数学北（理）第十二章概率、随机变量及其分布基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)．(1)均值EX＝，EX刻画的是．(2)方差DX＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的．a1p1＋a2p2＋…＋xrprX取值的“中心位置”E(X－EX)2平均偏离程度基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝，DX＝．3．正态分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为的正态分布．(2)正态分布密度函数的性质①函数图像关于对称；②决定图像的“胖”“瘦”；③P(μ－σXμ＋σ)＝；P(μ－2σXμ＋2σ)＝；P(μ－3σXμ＋3σ)＝.npnp(1－p)μ和σ2直线x＝μσ(σ0)的大小68.3%95.4%99.7%题号答案解析12345B基础知识·自主学习B0.7(1)√(2)√(3)√(4)√夯实基础突破疑难夯基释疑916题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析思维启迪首先列出随机变量ξ的所有可能的取值，然后计算ξ的每个取值的概率．【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析解(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ23456P141351819136【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析(2)由题意知η的分布列为η123Paa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c所以Eη＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，Dη＝1－532·aa＋b＋c＋2－532·ba＋b＋c＋3－532·ca＋b＋c＝59.化简得2a－b－4c＝0，a＋4b－11c＝0.解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.【例1】(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意性质的应用：若随机变量X的期望为EX，则对应随机变量aX＋b的期望是aEX＋b，方差为a2DX.题型分类·深度剖析跟踪训练1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．解(1)ξ的分布列为ξ01234P1212011032015∴Eξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.跟踪训练1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．题型分类·深度剖析(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又Eη＝aEξ＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2，或a＝－2，b＝4.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.思维启迪解析思维升华【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950，解得p＝15.(2)由题意，得P(ξ＝0)＝C031103＝11000，【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华P(ξ＝1)＝C131102×1－110＝271000，P(ξ＝2)＝C23×110×1－1102＝2431000，P(ξ＝3)＝C331－1103＝7291000.【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华所以，随机变量ξ的分布列为ξ0123P1100027100024310007291000故随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×11000＋1×271000＋2×2431000＋3×7291000＝2710.【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华(或∵ξ～B(3，910)，∴Eξ＝3×910＝2710.)【例2】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式EX＝np；DX＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．题型分类·深度剖析跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．解(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，∴P(X＝0)＝C04(12)4＝116，P(X＝1)＝C14(12)4＝14，P(X＝2)＝C24(12)4＝38，P(X＝3)＝C34(12)4＝14，P(X＝4)＝C44(12)4＝116，跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.(1)求X的分布列；(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．题型分类·深度剖析∴X的分布列为X01234P116143814116(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y＝3)＝P(X＝3)＝14，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝34，∴Y的期望值EY＝3×14＋4×34＝154.题型分类·深度剖析题型三正态分布的应用【例3】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．思维启迪解析思维升华【例3】在某次大型考试中，某班同学