【步步高】2015届高考数学总复习 第十章 10.2排列与组合课件 理 北师大版

§10.2排列与组合第十章计数原理数学北（理）基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．排列(1)排列的定义：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.不同顺序所有排列Amn基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理(3)排列数公式：Amn＝．(4)Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝.Amn＝，这里规定0！＝.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！n！n－m！1基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理2．组合(1)组合的定义：从n个的元素中，任取出m(m≤n)个元素，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示．(3)组合数的计算公式：Cmn＝AmnAmm＝＝，由于0！＝，所以C0n＝.(4)组合数的性质：①Cmn＝；②Cmn＋1＝＋.不同为一组所Cmnn！m！n－m！有组合nn－1n－2…n－m＋1m！11Cn－mnCmnCm－1n题号答案解析12345BC基础知识·自主学习A14(1)×(2)×(3)√(4)√（5）√（6）√夯实基础突破疑难夯基释疑题型分类·深度剖析题型一排列问题【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．思维启迪解析思维升华【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．题型分类·深度剖析题型一排列问题这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．思维启迪解析思维升华【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．题型分类·深度剖析题型一排列问题解(1)方法一(元素分析法)先排甲有6种，其余有A88种，思维启迪解析思维升华故共有6·A88＝241920(种)排法．方法二(位置分析法)中间和两端有A38种排法，包括甲在内的其余6人有A66种排法，故共有A38·A66＝336×720＝241920(种)排法．【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．题型分类·深度剖析题型一排列问题方法三(等机会法)9个人的全排列数有A99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，思维启迪解析思维升华依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241920(种)．【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．题型分类·深度剖析题型一排列问题方法四(间接法)A99－3·A88＝6A88＝241920(种)．思维启迪解析思维升华(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A22·A77＝10080(种)排法．(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2880(种)排法．【例1】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．题型分类·深度剖析题型一排列问题本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析跟踪训练1用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？解本题可分两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A44＝24；第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，这一步有A13＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A13＝3(种)．跟踪训练1用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？题型分类·深度剖析十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A33＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A13·A13·A33＝54.由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有24＋54＝78(个)．题型分类·深度剖析题型二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维启迪解析思维升华【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？题型分类·深度剖析题型二组合问题可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．思维启迪解析思维升华【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？题型分类·深度剖析题型二组合问题解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．思维启迪解析思维升华(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？题型分类·深度剖析题型二组合问题(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．思维启迪解析思维升华(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？题型分类·深度剖析题型二组合问题(5)选取3件的总数有C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种)．思维启迪解析思维升华∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？题型分类·深度剖析题型二组合问题组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．思维启迪解析思维升华【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？题型分类·深度剖析题型二组合问题(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析跟踪训练2甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．题型分类·深度剖析题型三排列与组合的综合应用问题【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维启迪解析思维升华【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？题型分类·深度剖析题型三把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．思维启迪解析思维升华排列与组合的综合应用问题【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？题型分类·深度剖析题型三解(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．思维启迪解析思维升华排列与组合的综合应用问题【例3】4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？题型分类·深度剖析题型三(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种