2014高三数学二轮专题复习课件：2.2三角变换与解三角形

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版·二轮专题复习专题二三角函数与平面向量走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学专题二三角函数与平面向量专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学专题二第二讲三角变换与解三角形专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向聚焦核心整合高频考点3课后强化作业4专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向聚焦专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学考向分析(1)利用正、余弦定理判断三角形形状和解三角形．(2)以求值、化简、证明等形式考查三角恒等变形能力．(3)综合运用诱导公式，同角关系，和、差、倍、半公式进行三角恒等变形及与平面向量，三角函数图象与性质的综合问题．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学命题规律(1)以1～2个小题考查三角函数的基本公式和正、余弦定理，包括化简、求值、求三角形面积、判断三角形的形状等．(2)将解三角形或三角函数的图象与性质与三角恒等变换，平面向量知识糅合在一起，有时也与不等式、函数最值结合，考查应用所学知识分析解决问题能力和应用意识，难度为中等或容易题．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学核心整合专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学知识方法整合1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学2．倍角公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学3．半角公式(1)sinα2＝±1－cosα2；(2)cosα2＝±1＋cosα2；(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα；(4)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；(4)已知三边，利用余弦定理求解．8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学疑难误区警示1．注意和差角公式中的符号和用二倍角(半角)公式时符号的选取．2．解决三角问题要牢记：关注角的范围对问题结论是否有影响．3．已知两边和一边对角解三角形时解的讨论．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学高频考点专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学设函数f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m(x∈R)．(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈[0，π2]，是否存在实数m，使函数f(x)的值域恰为[12，72]？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．三角函数的化简与求值专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)∵f(x)＝2cos2x＋23sinxcosx＋m＝1＋cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)假设存在实数m，符合题意．∵x∈[0，π2]，∴π6≤2x＋π6≤7π6，则sin(2x＋π6)∈[－12，1]，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋m＋1∈[m,3＋m]．又∵f(x)的值域为[12，72]，解得m＝12.∴存在实数m＝12，使函数f(x)的值域恰为[12，72]．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．(1)求cos2π4＋α2－cos2π4－α2sinπ－α＋cos3π＋α的值；(2)求cos2α－3π4的值．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)∵sinα＋π2＝－55，∴cosα＝－55，∵α∈(0，π)，∴sinα＝255.∴cos2π4＋α2－cos2π4－α2sinπ－α＋cos3π＋α＝cos2π4＋α2－sin2π4＋α2sinα－cosα＝cosπ2＋αsinα－cosα＝－sinαsinα－cosα＝－23.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，∴cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.[点评]注意π4＋x，π4－x,2x三个角的内在联系，π4＋x与π4－x“互余”，2x＝π4＋x－π4－x，π2＋2x＝2π4＋x，π2－2x＝2π4－x.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(理)已知函数f(x)＝sin2x＋3cos2x＋23sinxcosx－2，(1)求函数f(x)的最大值及单调递减区间；(2)若f(α)＝85(π6α2π3)，求cos2α的值．[解析](1)化简得f(x)＝2sin(2x＋π6)，故函数f(x)的最大值为2，单调递减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)由f(α)＝85可得，sin(2α＋π6)＝45，∵π6α2π3，∴π22α＋π63π2，∴cos(2α＋π6)＝－35，专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学∴cos2α＝cos(2α＋π6－π6)＝cos(2α＋π6)cosπ6＋sin(2α＋π6)sinπ6＝4－3310.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[方法规律总结]1．求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．讨论三角函数的性质(求单调区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依据正弦型或余弦型函数的性质进行讨论．3．三角变换的基本策略：(1)1的变换；(2)切化弦；(3)升降次；(4)引入辅助角；(5)角的变换与项的分拆.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)已知向量m＝sinA，12与n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角．(1)求角A的大小；(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．三角形形状的判定专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)因为m∥n，所以sinA·(sinA＋3cosA)－32＝0.所以1－cos2A2＋32sin2A－32＝0，即32sin2A－12cos2A＝1，即sin2A－π6＝1.因为A∈(0，π)，所以2A－π6∈－π6，11π6.故2A－π6＝π2，A＝π3.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，所以S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤34×4＝3，当△ABC的面积取最大值时，b＝c.又A＝π3，故此时△ABC为等边三角形．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(理)在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．[分析]条件式a2tanB＝b2tanA是边a、b与角A、B的关系，可用正弦定理化边为角，将“切化弦”，然后，通过三角变形探究A与B之间的关系判断形状；也可以应用正弦定理和余弦定理化角为边，再通过代数变形探寻边之间的关系后判断形状．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析]解法1：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB.∴(2RsinA)2sinBcosB＝(2RsinB)2sinAcosA，∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰或直角三角形.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学解法2：∵a2tanB＝b2tanA，∴a2b2＝tanAtanB＝sinAcosBcosAsinB.由正弦定理得sinAsinB＝ab.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，cosA＝b2＋c2－a22bc.∴a2b2＝ab·cosBcosA＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2，专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学整理得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰或直角三角形．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2013·中山二模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，π3Cπ2且ba－b＝sin2CsinA－sin2C.(1)判断△ABC的形状；(2)若|BA→＋BC→|＝2，求BA→·BC→的取值范围．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)由ba－b＝sin2CsinA－sin2C得，a－bb＝sinA－sin2Csin2C，∴ab＝sinAsin2C.由正弦定理得sinB＝sin2C.所以B＝2C或B＋2C＝π.若B＝2C，由π3Cπ2知2π32Cπ.即2π3Bπ，专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学∴B＋Cπ，与三角形内角和为π矛盾，故B＝2C舍去．∴B＋2C＝π.∴A＝π－(B＋C)＝π－(π－2C＋C)＝C.故△ABC为等腰三角形．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(2)由(1)知a＝c，∵|BA→＋BC→|＝2，∴|BA→＋BC→|2＝4，∴a2＋c2＋2accosB＝4，∴cosB＝4－a2－c22ac＝2－a2a2，∴BA→·BC→＝accosB＝2－a2，∵cosB＝cos(π－2C)＝－cos2C，由π3Cπ2知2π32Cπ，专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学∴－1cos2C－12，∴12cosB1，∴122－a2a21，∴1a243，∴232－a21，∴BA→·BC→的取值范围是(23，1)．专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[方法规律总结]判断三角形形状时，一般先利用所给条件将条件式变形，结合正余弦定理找出边之间的关系或角之间的关系．由于特殊的三角形主要从正三角形，等腰三角形，直角三角形，锐角三角形，钝角三角形方面命题，故分析条件时，应着重从上述三角形满足的条件与已知条件的沟通上着手.专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学(文)(2013·新课标Ⅱ理，17)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．利用正、余弦定理解三角形专题二第二讲走向高考·二轮专题复习·新课标版·数学[解析](1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcos