必修五第三章不等式章末复习

章末复习提升课第三章不等式1．不等式的基本性质(1)ab⇔ba，ba⇔ab；(2)ab，bc⇒ac；(3)ab，c0⇒acbc；(4)ab⇔a＋cb＋c；(5)ab，c0⇒acbc；(6)ab，cd⇒a＋cb＋d；(7)ab0，cd0⇒acbd；(8)ab0⇔anbn(n∈N，n≥1)；(9)ab0⇔nanb(n∈N，n≥2)．2．三个“二次”间的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac(a0)Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac(a0)ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实根x1，x2且x1x2有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅3．两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)“a＝b”时取等号基本不等式ab≤a＋b2(a0，b0)“a＝b”时取等号4.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C0(或0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数．当B0时，①Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．5．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等．(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．1．求解一元二次不等式时注意讨论二次项系数是否为零，容易在解题中忽略．2．利用基本不等式求最值时，注意对式子的整体变换，如果多次利用基本不等式则要保证每一个等号同时取到．3．利用线性规划求最值时容易弄错直线间倾斜角之间的大小关系，要掌握利用斜率的大小判断倾斜角的大小的方法．一元二次不等式的解法与三个二次之间的关系对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：(1)相应的二次函数图像及与x轴的交点，(2)相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)．【解析】因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m＞1⇒m＞1，1＋m＝6a，1·m＝a⇒m＝2，a＝2.【答案】2若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1，4]，求实数a的取值范围．【解】M⊆[1，4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ＜0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ＞0，下面分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，则有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝∅⊆[1，4]；(2)当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时，M＝{－1}⃘[1，4]；当a＝2时，M＝{2}⊆[1，4]．(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M＝[x1，x2]，M⊆[1，4]⇔1≤x1x2≤4⇔f（1）＞0，且f（4）＞0，1≤a≤4，且Δ＞0.即－a＋3＞0，18－7a＞0，1≤a≤4，a＜－1或a＞2.解得2＜a＜187，所以M⊆[1，4]时，实数a的取值范围是－1，187.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的方法(1)基本不等式通常用来求最值：一般a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤a＋b22解“定和求积，积最大”问题．(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋kx(k＞0)．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．(1)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5(2)点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图像上运动，则log2m＋log2n的最大值是__________．【解析】(1)将(1，1)代入直线xa＋yb＝1，得1a＋1b＝1，a＞0，b＞0，故a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到．(2)由条件知，m0，n0，m＋n＝1，所以mn≤m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2.【答案】(1)C(2)－2数形结合法求解线性规划问题用图解法解线性规划应用题的具体步骤(1)设元：列出相应的约束条件和目标函数．(2)作图：准确作图，平移找点．(3)求解：代入求解，准确计算．(4)检验：根据结果，检验反馈．若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．【解析】约束条件对应的平面区域是以点1，12，(0，1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点1，12时，z取得最大值32.【答案】32