第八章 广义逆矩阵

第八章广义逆矩阵定理：设是数域上一个矩阵，则矩阵方程总是有解。如果，并且其中与分别是阶、阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为AKsnAXAArank()Ar000rIAPQPQsn(1)(2)11rIBXQPCD其中分别是任意矩阵。证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到：,,BCD(),rsr(),nrr(3)11000000rrrIIBIPQQPPQCD左边()()nrsr00000000000000rrrrrrIIBIPQCDIBIPQIPQA右边所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取(1)的一个解，则由(1)和(2)得因为可逆，所以从上式得XG000000000rrrIIIPQGPQPQ,PQ000000000rrrIIIQGP(4)把矩阵分块，设代入(4)式得即QGPHBQGPCD000000000rrrIHBIICD000000rHI(5)由此得出，，代入(5)式便得出这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解.定义：设是一个矩阵，矩阵方程的通解称为的广义逆矩阵，简称为的广义逆。我们用记号表示的一个广义逆。rHI11rIBGQPCDAsnAXAAAAAA定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组有解的充分必要条件是证明：必要性。设有解，则。因为，所以充分性。设，则取得所以是的解。AXAAAXXAAAAAAAAAAAAAA()AAAAAX定理(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次线性方程组有解，则它的一般解(通解）为其中是的任意一个广义逆。证明：任取的一个广义逆，我们来证是方程组的解：已知有解，根据前一个定理得：这表明是的一个解。AXXAAAAAAXXAAX()AAAAAXA反之，对于的任意一个解，我们要证存在的一个广义逆，使得。设是矩阵，它的秩为，且AXAAAAsnr000rIAPQ其中与分别是阶、阶可逆矩阵。由于的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵，使PQsnA,,BCD11rIBQPCD即先分析与之间的关系。因为,所以有分别把分块，设1rIBQPCDQ1PA1000rIQP1,QP12}}YrQYnr行行(6)112}}ZrPZsr行行1122000rYZIYZ则(6)式成为所以，因为，所以，从而。设，且设。取112,0YZZ10P010Z11(,,)rZkk0ik120,0,(0,,0,,0,,0)iBDCkY则于是从而只要取则11111200000rrZYIIZPQCZYCC1100rIQPC1100rIAQPCA定理(齐次线性方程组解的结构定理)：数域上元齐次线性方程组的通解为其中是的任意给定的一个广义逆，取遍中任意列向量。证明：任取，我们有所以是方程组的解。Kn0AX()nnXIAAZAAZnKnZK[()]()00nnAIAAZAAAAZZ()nnXIAAZ0AX反之，设是方程组的解，要证存在，使得。取我们有所以是方程组的通解。利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。0AXnZK()nnIAAZZ()()0nnIAAAAAA()nnXIAAZ0AX推论：设数域是元非齐次线性方程组有解，则它的通解为其中是的任意给定的一个广义逆，取遍中任意列向量。证明：我们已经知道是非齐次线性方程组的一个解，又知道是导出组的通解，所以是的通解。KnAX()nnXAIAAZAAZnKAAX()nnIAAZ0AX()nnXAIAAZAX伪逆矩阵定义：设，若，且同时有则称是的伪逆矩阵。上述条件称为Moore－Penrose方程。例：设，那么mnACnmAC,(),()HHAAAAAAAAAAAAAAAAAA1100A102102A设，那么设，其中是可逆矩阵，则如果是一个可逆矩阵，那么11A1212ABOAOOB1BOAOOA1AA下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理：设是的一个满秩分解，则是的伪逆矩阵。例1：设求。解：利用满秩分解公式可得,mnACABC11()()HHHHXCCCBBBAA101202AA11012ABC从而的伪逆矩阵是A11()()HHHHACCCBBB1111101010121221111211012001010112例2：设求。解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为1122AA1112ABC1111()()111(11)(12)12112112111211210101110511105HHHHACCCBBB推论：若，则若，则定理：伪逆矩阵唯一。证明：设都是的伪逆矩阵，则mrrAC1()HHAAAArnrAC1()HHAAAAAA,XY()()()()()()()()HHHHHHHHXXAXXAYAXXAYAXXAXAYXAYXAYXAYAYXAYAYYAXAYYAYYAYY根据此定理知，若，则。nnnAC1AA定理：设，则证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。设是的满秩分解，则的满秩分解可以写成mnAC(1)()(2)()()()()()()(3)()()HHHHHHHHHHAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHAAABC()HHHAACBBC其中是列满秩，为行满秩，故由式得因此同理可证：HCHBBC11()()HHHHXCCCBBB111111111()()()()()()()()()()()()HHHHHHHHHHHHHHHHHHAABBCBBCCBBCCCCBBBBCCBBCCCCCCBBCCC11111()()()()()()HHHHHHHHHHHHAAACCCBBCCCCBCCCBBBA()HHAAAA例：设，则是正定或半正定Hermite矩阵，故存在，使得证明解：因为mnrACHAAnnUC12diag(,,,)HHHnAAUUUUHHAUUA12diag(,,,)HHnUAAU1212,,,0,0rrrn不妨设则10HHrAAUU111100rnrHrrnHHUUUU其中故于是110r11111,HHrrrr令由，知11,nrHHrnrrBUCCUC11()()HHHHXCCCBBB11111111111111111()()()()()110HHHHHHHHHHHHHrnnAAUUUUUUUUUUUU因此由得例：已知求。解：的特征值的特征向量为()()HHHHAAAAAAA()HHHHAAAAUUA101202AAHAA123110,0,10111(,0,)22TX2311(,0,)22(0,1,0)TTXX230的特征向量为故1101022001,0110022U1/1000代入得：HHAUUA111050011105HHAUUA练习1：已知求其奇异值分解与。练习2：设100110AA102101A求。答案：（1）奇异值分解式为A1120221001001011101022oA11022100102010010101102211022010A（2）其伪逆矩阵为111333511366A不相容线性方程组的解问题定义：设，，如果维向量对于任何一个维向量，都有则称是方程组的一个最小二乘解。若是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解都有不等式则称是最佳最小二乘解。AXbmnACmbCnn0xx220AxbAxb0xAxbu0uxu定理：设，则是方程组的最佳最小二乘解。例1：求不相容方程组的最佳最小二乘解。,mnmACbCxAbAxb12312211243xxxxx定理：设，则是方程组的最佳最小二乘解。例1：求不相容方程组的最佳最小二乘解。,mnmACbCxAbAxb12312211243xxxxx例2：求不相容方程组的最佳最小二乘解。123131312323102212461xxxxxxxxxx