【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第九章 椭 圆课件 新人教A版

§9.5椭圆[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．•掌握椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质.•椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，而直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点．•定义、标准方程和几何性质常以选择题、填空题的形式考查，而直线与椭圆位置关系以及与向量、方程、不等式等的综合题常以解答题的形式考查，属中、高档题目.知识梳理1.椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(□1______|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的□2____，两焦点间的距离叫做□3______.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}．(1)若□4____________，则集合P为椭圆；(2)若□5____________，则集合P为线段；(3)若□6____________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形答案：□1大于□2焦点□3焦距□4a＞c□5a＝c□6a＜c□7坐标轴□8原点□9(－a,0)□10(a,0)□11(0，－b)□12(0，b)□13(0，－a)□14(0，a)□15(－b,0)□16(b,0)□172a□182b□192c□20(0,1)□21a2－b2名师微博●一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.●两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．●三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.基础自测1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝43.答案：C2如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1]解析：由x2＋ky2＝2，得x22＋y22k＝1.∵椭圆的焦点在y轴上，∴2k＞2，即1k－1＞0，∴1－kk＞0⇔k(k－1)＜0.∴0＜k＜1.答案：A3．椭圆x2m＋y24＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5或3B．8C．5D．16解析：当m＞4时，m－4＝1，m＝5；当m＜4时，4－m＝1，m＝3.答案：A4．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对解析：由题意知b＝3，又e＝a2－b2a2＝1－9a2＝45，得a＝5.∴c＝a2－b2＝4.∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.答案：C5．(2011·郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为()A.－1＋52B．1－22C.2－1D.22解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2.又b2＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0，e＝±5－12，∵0＜e＜1，∴e＝5－12.答案：A[例1](2013·青岛质检)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.考点一椭圆定义的应用解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→.∴|PF1→|2＋|PF2→|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案：3方法点睛椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．变式训练1(2013·吉林质检)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为()A．4B．3C．2D．5解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案：A[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－12,0)，(12,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于26；(2)焦点在坐标轴上，且经过点A(3，－2)和B(－23，1)；(3)焦距是2，且过点P(－5，0)．考点二求椭圆的标准方程解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝26,2c＝24，∴a＝13，c＝12.∴b2＝a2－c2＝132－122＝25.∴所求的椭圆标准方程为x2169＋y225＝1.(2)方法一，若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由A(3，－2)和B(－23，1)两点在椭圆上可得32a2＋－22b2＝1，－232a2＋12b2＝1，解得a2＝15b2＝5.若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，同上可解得a2＝5b2＝15，不合题意，舍去．故所求的椭圆标准方程为x215＋y25＝1.方法二，设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．由点A(3，－2)和B(－23，1)在椭圆上可得m·32＋n·－22＝1，m·－232＋n·12＝1，即3m＋4n＝1，12m＋n＝1.解得m＝115，n＝15.故所求的椭圆标准方程为x215＋y25＝1.(3)若椭圆焦点在x轴上，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题意，得c＝1，且过点P(－5，0)，∴5a2＝1，a2－b2＝1.∴a2＝5，b2＝4.∴椭圆方程为x25＋y24＝1.若椭圆焦点在y轴上，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．则由5b2＝1，a2－b2＝1，得a2＝6，b2＝5.∴椭圆方程为y26＋x25＝1.综上，所求椭圆标准方程为x25＋y24＝1或y26＋x25＝1.方法点睛运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．变式训练2(1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程．解析：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，a＝3，∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，∴椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝32|MN|＝32×23b＝1.∴b＝3，a2＝b2＋c2＝4，故椭圆方程为x24＋y23＝1.[例3](2011·北京)已知椭圆G：x24＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．考点三椭圆几何性质的应用解析：(1)由已知得，a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1，当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，32，1，－32，此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1.得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k264k4m21＋4k22－44k2m2－41＋4k2＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.方法点睛①求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．②弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2.变式训练3(2013·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为__________．解析：设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC为直角三角形，∴1＋1＋2＝4a，则a＝2＋24，设|FA|＝x，∴x＋1＝2a，1－x＋2＝2a，∴x＝22，∴1＋222＝4c2，∴c＝64，e＝ca＝6－3.答案：6－3.[例4]在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA→⊥OB→，求k的值．考点四直线与椭圆的位置关系解析：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝22－32＝1，故曲线C的方程为x2＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足x2＋y24＝1，y＝kx＋1.消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)＞0恒成立．故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4.若OA→⊥OB→，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝0，化简得