2014年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年重庆，理1，5分】在复平面内表示复数i(12i)的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】A【解析】2i(12i)2ii2i，对应点的坐标为(2,1)，在第一象限，故选A．【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数z化为iab,abR的形式，是解答本题的关键．（2）【2014年重庆，理2，5分】对任意等比数列{}na，下列说法一定正确的是（）（A）139,,aaa成等比数列（B）236,,aaa成等比数列（C）248,,aaa成等比数列（D）369,,aaa成等比数列【答案】D【解析】设{}na公比为q，因为336936,aaqqaa，所以369,,aaa成等比数列，故选D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．（3）【2014年重庆，理3，5分】已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3x，3.5y，则由观测的数据得线性回归方程可能为（）（A）0.42.3yx（B）22.4yx（C）29.5yx（D）0.34.4yx【答案】A【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除,CD，回归直线经过点,xy，故选A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．（4）【2014年重庆，理4，5分】已知向量(,3),(1,4),(2,1)akbc，且(23)abc，则实数0k（）（A）92（B）0（C）3（D）152【答案】C【解析】由已知(23)0230abcacbc，即2(23)3(2141)03kk，故选C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．（5）【2014年重庆，理5，5分】执行如题图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）（A）12s（B）35s（C）710s（D）45s【答案】C【解析】由程序框图知：程序运行的981091kSk，∵输出的6k，∴9877109810S，∴判断框的条件是710S，故选C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．（6）【2014年重庆，理6，5分】已知命题:p对任意xR，总有20x；:1qx是2x的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq【答案】D【解析】根据指数函数的性质可知，对任意xR，总有20x成立，即p为真命题，“1x”是“2x”的必要不充分条件，即q为假命题，则pq，为真命题，故选D．【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．2（7）【2014年重庆，理7，5分】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）（A）54（B）60（C）66（D）72【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABCABC,如右图所示，4,'5,'2ABAABB，3AC，经检验该几何体的三视图满足题设条件．其表面积'''''''''ABCACCAABBABCCBABCSSSSSS3515615146022，故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8）【2014年重庆，理8，5分】设12FF，分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得12129||||3,||||4PFPFbPFPFab，则该双曲线的离心率为（）（A）43（B）53（C）94（D）3【答案】B【解析】由于22121212(||||)(||||)4||||PFPFPFPFPFPF，所以22949baab，分解因式得(34)(3)0433,4,5babaababc，所以离心率53cea，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．（9）【2014年重庆，理9，5分】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）（A）72（B）120（C）144（D）3【答案】B【解析】用,,abc表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种排法：,,,,,,,,,abcabaababacababcaabacababacbaacababacbabababacabacabacababa每一种排法中的三个a，两个b可以交换位置，故总的排法为323210120AA种，故选B．【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．（10）【2014年重庆，理10，5分】已知ABC的内角1,sin2sin()sin()2ABCAABCCAB，满足，面积S满足12,,,,SabcABC，记分别为所对的边，则下列不等式成立的是（）（A）()8bcbc（B）()162acab（C）612abc（D）1224abc【答案】A【解析】已知变形为1sin2sin[()]sin[()]2ACBACBA，展开整理得11sin22cos()sin2sin[coscos()]22ACBAAACB，即112sin[cos()cos()]sinsinsin28ACBCBABC，而22111sin2sin2sinsin2sinsinsin224SabCRARBCRABCR，故2122224RR，故338sinsinsin[8,162]abcRABCR，排除,CD，因为bca，所以()8bcbcabc，故选A．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年重庆，理11，5分】设全集{|110},{1,2,3,5,8},{1,3,5,7,9}UnNnAB，则C'B'A'CBA3()UCAB．【答案】7,9【解析】∵全集110UnNn，1,2,3,5,8A，1,3,5,7,9B，∴4,6,7,9UCA，∴()7,9UCAB．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．（12）【2014年重庆，理12，5分】函数22()loglog(2)fxxx的最小值为．【答案】14【解析】因为2222221loglog,log(2)log422log2xxxxx，设2logtx，则：原式221111(22)()2244ttttt，故最小值为14．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．（13）【2014年重庆，理13，5分】已知直线02yax与圆心为C的圆2214xya相交于AB，两点，且ABC为等边三角形，则实数a．【答案】415【解析】易知ABC的边长为2，圆心到直线的距离为等边三角形的高3h，即：2234151aaaa．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）【2014年重庆，理14，5分】过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PB，PC分别交圆于B，C，若6PA，8AC，9BC，则AB．【答案】4【解析】设,ABxPBy，由PABPCA知：64,3986PAABPBxyxyPCACPAy，所以4AB．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．（15）【2014年重庆，理15，5分】已知直线l的参数方程为23xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程为2sin4cos0(0,02)则直线l与曲线C的公共点的极径．【答案】5【解析】直线的极坐标方程为sincos1与2sin4cos0联立得：24costan2,5cos5sin．【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．（16）【2014年重庆，理16，5分】若不等式2121222xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是__．【答案】112a【解析】转化为左边的最小值2122aa，左边1111155(2)22222222xxxxxxx，当12x时取等号，故251121222aaa．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年重庆，理17，13分】已知函数3sin022fxx，的图像关于直线3x对4称，且图像上相邻两个最高点的距离为．（1）求和的值；（2）若322463f，求3cos2的值．解：（1）由已知()33f，周期2，解出2,,6kkZ，因为[,)22，故只有6．（2）313sin()sin()26464f，由062，故215cos()1sin()664，3cossinsin[()]sin()coscos()sin26666661315131542428．【点评】本题主要考查由函数sinyAx的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．（18）【2014年重庆，理18，13分】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望（注：若三个数,,abc满足abc，则称b为这三个数的中位数）．解：（1）由古典概型的概率计算公式得所求概率为：334339584CCpC．（2）3214453417(1)848242CCCpx；111212134323234343(2)8484CCCCCCCCpx；1771(3)848412Cpx．所以X的分布列为：所以174314712342841228E．【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．（19）【2014年重庆，理19，13分】如下图，四棱锥PABCD，底面是以O