【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第二章 函数的定义域与值域课件 新人教A版

§2.2函数的定义域与值域[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•了解定义域、值域是构成函数的要素．•会求一些简单函数的定义域和值域.•本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数值域是高考的难点．•本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为主，属于中、低档题目.知识梳理1.常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母□1________________________.(2)偶次根式函数被开方式□2__________________.(3)一次函数、二次函数的定义域均为□3__________.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为□4__________.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为□5____________.(6)函数f(x)＝x0的定义域为□6______________.(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是□7__________.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为□8__________；当a＜0时，值域为□9________________.(3)y＝kx(k≠0)的值域是□10______________.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是□11______________.(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是□12____________.答案：□1不等于零□2大于或等于0□3R□4R□5(0，＋∞)□6{x|x≠0}□7R□8{y|y≥4ac－b24a}□9{y|y≤4ac－b24a}□10{y|y≠0}□11{y|y＞0}□12R名师微博●一个方法求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法．①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．●两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．基础自测1.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案：A2．若f(x)＝，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：由log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12＜x＜0.答案：A3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)解析：由题意，得0≤2x≤2，x－1≠0.解得0≤x＜1，故g(x)的定义域为[0,1)，选B.答案：B4．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝()A.13B.2C.22D．2解析：x∈[0,1]，x＋1∈[1,2]．∵loga1＝0，∴loga2＝1⇒a＝2.答案：D5．函数y＝f(x)的图像如图所示．那么，f(x)的定义域是__________；值域是__________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是__________．解析：任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图像没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图像有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图像有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图像没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案：[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5][例1]求下列函数的定义域：(1)f(x)＝|x－2|－1log2x－1；(2)f(x)＝lnx＋1－x2－3x＋4.考点一根据函数解析式求其定义域解析：(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须|x－2|－1≥0，x－1＞0，x－1≠1.解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须x＋1＞0，－x2－3x＋4＞0，即x＞－1，x＋4x－1＜0，解得，－1＜x＜1.因此f(x)的定义域为(－1,1)．方法点睛列出使函数解析式有意义的不等式组，解不等式组并用集合或区间表示便可求出函数的定义域．变式训练1(1)(2011·广东)函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)(2)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是__________．解析：(1)由题意知1＋x＞0，1－x≠0，解得x＞－1且x≠1，故选C.(2)要使函数有意义，自变量x必须满足1－x≥0，1－x≠0，3x＋1＞0，得x≤1，x≠1，x＞－13，解得－13＜x＜1.即函数的定义域为－13，1.答案：(1)C(2)－13，1[例2](1)已知f(x)的定义域为[－1,1]，求f(2x)的定义域；(2)已知f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(x)的定义域；(3)已知f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域．考点二求复合函数的定义域解析：(1)由题意，得－1≤x≤1，故－1≤2x≤1，解得x≤0.所以，f(2x)的定义域为(－∞，0]．(2)由题意，得－1≤x≤1.故12≤2x≤2.所以，f(x)的定义域为12，2.(3)由题意，得－1≤x≤1.故12≤2x≤2.所以12≤log2x≤2.解得2≤x≤4.所以，f(log2x)的定义域为[2，4]．方法点睛对于复合函数求解定义域问题，若已知函数f(x)的定义域[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出，即解答的原则是“由内向外”，内层函数的值域充当外层函数的定义域．变式训练2(2013·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为－12，12，求函数y＝fx2－x－12的定义域；(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．解析：(1)令x2－x－12＝t，知f(t)的定义域为t－12≤t≤12，∴－12≤x2－x－12≤12，整理得x2－x≥0，x2－x－1≤0⇒x≤0或x≥1，1－52≤x≤1＋52，∴所求函数的定义域为1－52，0∪1，1＋52.(2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5].[例3]求下列函数的最值与值域．(1)y＝4－3＋2x－x2；(2)y＝2x－1－2x；(3)y＝x＋4x；(4)y＝3x3x＋1.考点三求简单函数的值域解析：(1)由3＋2x－x2≥0得函数定义域为[－1,3]，又t＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2.∴t∈[0,4],t∈[0,2]，从而ymin＝2(当x＝1时)；ymax＝4(当x＝－1或x＝3时)．故值域为[2,4]．(2)方法一：令1－2x＝t(t≥0)，则x＝1－t22.∴y＝1－t2－t＝－t＋122＋54.∵二次函数对称轴为t＝－12，∴在[0，＋∞)上，y＝－t＋122＋54是减函数．故ymax＝－0＋122＋54＝1，故函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．方法二：∵y＝2x与y＝－1－2x均为定义域上的增函数，故y＝2x－1－2x是定义域为{x|x≤12}上的增函数，故ymax＝2×12－1－2×12＝1，无最小值．故函数的值域为(－∞，1]．(3)方法一：∵函数y＝x＋4x是定义域为{x|x≠0}上的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论x＞0时，即可知x＜0时的最值．∴当x＞0时，y＝x＋4x≥2x·4x＝4，等号当且仅当x＝2时取得．当x＜0时，y≤－4，等号当且仅当x＝－2时取得．综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，无最值．方法二：任取x1，x2，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，因为Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2＋4x2－x1＋4x1＝x2－x1x1x2－4x1x2.所以当x≤－2或x≥2时，f(x)递增，当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4，x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4，所以所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，无最大(小)值．(4)由y＝3x3x＋1，得3x＝y1－y.∵3x＞0，∴y1－y＞0，∴0＜y＜1.∴原函数的值域为(0,1)，无最值．方法点睛求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图像，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．变式训练3已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．解析：∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为1≤x≤9，1≤x2≤9，得1≤x≤3，即定义域为[1,3]．∴0≤log3x≤1.又y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x＋2)2＋log3x2＋2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，∵0≤log3x≤1，∴6≤y≤13，故函数值域为[6,13].易错矫正(五)乱用等价性致误[试题](2012·海淀模拟)函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的定义域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．{－2}D．[－2,2)错解：函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的值域为(－∞，0]，即f(x)≤0恒成立．∴a＜2，Δ≤0，解之，得－2≤a＜2，故选D.错因：错解中误认为值域为(－∞，0]等价于f(x)≤0恒成立，其实不然，若f(x)的值域为(－∞，0]，则函数f(x)的最大值为0，而f(x)≤0恒成立，则不一定有函数f(x)的最大值为0.正解：由函数f(x)的值域为(－∞，0]可知，函数f(x)的最大值为0，可求得a＝－2.答案：C