概率论与数理统计随机变量的分布函数

一、分布函数的概念二、分布函数的性质三、例题讲解四、小结第三节随机变量的分布函数对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值,要知道X取这些值的概率;而且更重要的是想知道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率.}{21xXxP}{}{12xXPxXP)(2xF)(1xF}{21xXxP分布函数).()(12xFxF?一、分布函数的概念例如.],(21内的概率落在区间求随机变量xxX1.概念的引入2.分布函数的定义说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况..)()2(的一个普通实函数是分布函数xxF,是一个随机变量设X,是任意实数x函数)(xF,}{xXPx.的分布函数称为X实例抛掷均匀硬币,令.,0,,1出反面出正面X求随机变量X的分布函数.解}1{Xp}0{Xp,2101x,0时当x;0}0{)(xXPxF01x,10时当x}{)(xXPxF}0{XP;21,1时当x}{)(xXPxF}0{XP}1{XP2121.1.1,1,10,21,0,0)(xxxxF得二、分布函数的性质.)(1是一个不减函数xF事实上,,)(,2121xxxx由定义知对任意实数有)()(12xFxF}{21xXxP.0,1)(02xF且)(F)(limxFx,0)(F)(limxFx.1,}{)(xXPxF；0}{lim)(limxXPxFxxxoxo证明,越来越小时当x,}{的值也越来越小xXP有时因而当,x.),(,,),(,}{,内必然落在时当而的值也不会减小增大时当同样XxxXxXPx.1}{lim)(limxXPxFxx所以,)()0(3xFxF.)(是右连续的即xF.,1,,,0,,0,0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF1x2x1p2p1注意.)(1}{aFaXP重要公式,)()(}{)1(aFbFbXaP.)(1}{)2(aFaXP证明,}{}{}{bXaaXbX因为,}{}{bXaaX,}{}{}{bXaPaXPbXP所以.)()(}{aFbFbXaP故,,,,,,,,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS因此分布律为818383813210pX解则三、例题讲解.}31{,}5.5{,}31{,,,XPXPXPXX列概率值并求下的分布律及分布函数求”出现的次数表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次例1,,反面正面设TH;218381,0时当x,10时当x求分布函数}{)(xXPxFxo123}{)(xXPxF}0{XP;810ixip}{)(xXPxF1ixip}0{XP}1{XP;0,21时当x,32时当x;87838381,3时当x}{)(xXPxF}{)(xXPxF2ixip}0{XP}1{XP}2{XPxo123.13ixip}0{XP}1{XP}2{XP}3{XP}31{XP}3{}1{}3{XPXPXP)1()3(FF81841.3,1,32,87,21,84,10,81,0,0)(xxxxxxF所以}3{XP.83}5.5{XP}5.5{1XP}31{XP}1{}3{XPXP)1()3(FF}5.5{}5.5{1XPXP011.0841.21例2的分布律为设随机变量XXkp123412141,的分布函数求X,}21{XP并求,}2523{XP.}32{XP解,03,2,1三点处的概率不为仅在X的而)(xF,的累积概率值值是xX由概率的有限可加性,,之和处的概率的那些知它即为小于或等于kkpxx有)(xF，0,}1{XP,}2{}1{xPXP,1,1x,21x,32x.3x即)(xF,0,1x,41,21x,43,32x,1.3x.)(线的图形是一条阶梯型曲xF,3,2,1处有跳跃点曲线在x跳跃值分别为.41,21,4121XP21F,412523XP25F23F4143.21}32{XP}2{)2()3(XPFF21431.43一般,的分布律为设离散型随机变量X}{kxXP,kp.,2,1k的分布函数为由概率的可列可加性得X)(xF}{xXP,}{xxkixXP即)(xF,xxkkp.求和的的这里和式是对所有满足kxxk分布函,),2,1()(处有跳跃在数kxxxFk其跳跃值为.}{kkxXPp例3一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘面积成正比,设射击都能中靶,.离表示弹着点与圆心的距以X.的分布函数试求随机变量X解,0x若,}{是不可能事件则xX并)(xF}{xXP;0,20x若由题意,}0{xXP是k,2kx常数.,的值为了确定k,2x取}20{XP有,22k,1}20{XP但已知故得,41k即}0{xXP42x于是)(xF}{xXP}0{XP}0{xXP.42x于是,2x若,}{是必然事件由题意xX于是)(xF}{xXP.1综上所述,的分布函数为即得X)(xF,0,0x,42x,20x,1.2x它的图形是一条连续曲线，如下图所示..,0,20,2)(其他若记tttf.d)()(ttfxFx则,],()()(上的积分在区间恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量此时称X注意两类随机变量的分布函数图形的特点不一样.请同学们思考不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗?答不一定..1,1;11,21;1,0)(xxxxF函数但它们却有相同的分布同的随机变量是两个不则不同在样本空间上的对应法与,,21XX.,1;,1.,1;,121出反面出正面出反面出正面XX例如抛均匀硬币,令xxkkpxXPxF}{)(分布函数分布律}{kkxXPp离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布函数演示.}{)(xxkipxXPxF2.分布律与分布函数的关系1.离散型随机变量的分布函数四、小结