概率论复习重点与习题

《概率论与数理统计》课程总结第一章主要内容及要求：1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律.会用事件的关系表示随机事件.,BA,BA,ABBABA,BAABA,BA.;SBABAAAAA,2）掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型中的概率；)()()(2121APAPAAP则是两两互不相容事件若,,,)1(21AA则是两两互不相容事件若,,,,)2(21AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn)()()()3(APBPABPBA)(1)()4(APAP)()()()()5(ABPBPAPBAP)()()()6(ABPBPABP3）熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公式，事件的独立性及性质求概率.;)1(BPABPBAP;)2(ABPAPABPnkkkABPAPBP1;)3()|()4(BkAP)()(BPBkAP,1)|()()|()(njjABPjAPkABPkAP.)5(BPAPABP（7）若随机事件A与B相互独立，则BABABA与、与、与也相互独立.（8）若是相互独立的事件，则nAAA,,21)(21nAAAP)(121nAAAP)()()(121nAPAPAPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCPBPAPABCPA,B,C相互独立（6）主要参考习题P25:3,5,9,14,19,24,30,36第二章主要内容及要求：1）掌握随机变量分布函数的定义及性质:}{)(xXPxFF(x)是一个单调不减右连续的函数；;1)(0xF;1)(,0)(FF{}bXaPaFbF{}aXP)0()(aFaF2）掌握离散型随机变量分布率的定义和性质，会求离散型随机变量的分布率；X1x2x，nxP1p2p，np;0npn，有对任意的自然数⑴.1nnp⑵-10123x1214141Xpk21-12341413）会求离散型随机变量的分布函数；32,121-,431,41)(xxxxF4）掌握连续型随机变量概率密度的性质：会确定密度函数中的未知参数，掌握分布函数与概率密度的关系，会运用概率密度求连续型随机变量取值落在实轴某一区间上的概率.xdttfxF;)()()1(;1)()2(dxxf)()(}{)3(1221xFxFxXxP;)(21xxdxxf).()()4(xfxF5）理解贝努里试验，掌握两点分布及其概率背景；X~b(1,p),{}nkppCkXPknkkn，，，101{}，，，210!kekkXPk7）掌握泊松分布；6）掌握二项分布的概率背景，即会把实际问题中服从二项分布的随机变量构设出来，运用有关公式求概率.若X表示n重贝努里试验中成功出现的次数，则X~b(n,p),8）掌握均匀分布:X~U[a,b]9）掌握指数分布:其它01bxaabxf/1000xexfxx10）掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率，正态变量的线性变换仍然是正态变量.:10~，NXxexx2221:~2sm，NXxexfx22221sms}{)(xXPxFX)(smx).()-b(b}X{asmsmaP),,(~2smNX若.)(,~2smabaNbaXY有xx1)(11）会运用定理及先求分布函数法求随机变量变量函数的分布..,0,|,)(|)]([)()1(其它yyhyhfyfXY的分布函数先求XgY)2(的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数利用XgYXgY{}yYPyFY{}yXgPyxgXdxxf)()(.yFyfYY主要参考习题P55:2,6,23,24,25,27,33,36第三章主要内容及要求：1）掌握二维离散型随机变量分布率的定义；会求二维离散型随机变量的分布率；2）掌握二维连续型随机变量概率密度的性质：会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面某一区域上的概率.GdxdyyxfGYXP.),(}),{(3）掌握二维均匀分布的定义及性质；DyxDyxAyxf，，，01.),(}),{(ABdxdyyxfGYXPGDxyAGB4）会求边缘分布率和边缘概率密度；dyyxfxfX，dxyxfyfY，{}iixXPp.jijp{}jjyYPp.iijpYX1y2y…jy…ip1x11p12p…jp1…1p2x21p22p…jp2…2pix1ip2ip…ijp…ipjp1p2p…jp…5）掌握随机变量独立性的充分必要条件:yfxfyxfYX，jiijppp6）会求二维随机变量函数的分布：（1）一般情形dxxzfxfzfYXZdyyfyzfzfYXZ，的分布函数，先求随机变量函数zFYXgZZ，的密度函数，再求随机变量函数zFzfYXgZZZ（2）和的分布（3）极值分布{}xXPxFnnxFini1{}xXPxF11xFini1117）掌握正态分布的性质：2~iiiNXsm，相互独立，，，，如果随机变量nXXX21，令：niiiXaZ1niiiniiiaaNZ1221~sm，则主要参考习题P84:2,9,15,18,22,36第四章主要内容及要求：1）熟练掌握期望定义和性质；1ikkpxEXdxxxfEX)(niniiiiiEXaXaE11)(.,EXEYEXYYX不相关2）会求随机变量函数的数学期望；设Y=g(X),g(x)是连续函数，dxxfxgEY)()(1)(kkkxgpEY则),(YXgZ若1,),(jiijjipyxgEZ则dxdyyxfyxgEZ),(),(3）熟练掌握方差的定义和性质；2)(EXXEDXDXccXD2)(),(2))((2)(2222YXabCOVDYbDXaEYYEXXabEDYbDXabYaXD不相关，若YX,.)(22DYbDXabYaXD则4）掌握契比雪夫不等式;/}|{|2DXEXXP22EXEX6）掌握协方差和相关系数的定义，不相关的定义及独立与不相关的关系；COV(X,Y)=E(X–EX)(Y-EY)=EXY–EXEYDYDXYXCOVXY),(称X,Y不相关。，若0XY若X，Y独立，则X,Y不相关.(反之，不然）5）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值.主要参考习题P113:2,5,6,11,22,26,30,321）掌握大数定律的定义；第五章主要内容及要求：,111lim11nkknkknEXnXnP,011lim11nkknkknEXnXnP或2）掌握辛钦、贝努里、契比雪夫大数定律；2）掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯定理；并会用这两个定理求概率；}{lim1xnnXPnkknsm).(2122xdtext),10(),2,1)(,(~pnpnBn设随机变量}{limxnpqnpPnn).(xxtdte2221主要参考习题P126:3,7第六章主要内容及要求：1）理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.,11niiXnXniiXXnS122)(11niiXnXn122][11样本均值样本方差,2,111kXnAnikik,2,1)(11kXXnBnikik样本k阶原点矩样本k阶中心矩2)了解分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算．23)了解正态总体的某些常用抽样分布.则.,,222ssmESnXDXE,,2smDXEX结论：设为来自总体X的一个样本，nXX,1~)1(X221,),(,,SXNXXn的样本，是总体设sm22)1()2(sSn独立。与2)3(SX定理1方差，则有：分别是样本均值与样本212)(sniiXX);,(2nNsm);1(~2n)1(~/ntnSXm定理2主要参考习题P126:1,6,8,9第七章主要内容及要求：1)理解参数的点估计、估计量与估计值的概念．要会熟练运用矩法和最大似然法求估计量.矩法求估计量的步骤：;)1(1EXm求;ˆ)2(11mA令).,,(ˆˆ)3(1nXX解上面方程，得最大似然法求估计量的步骤：(一般情况下):)()1(L构造似然函数);(ln)2(L取对数：;0ln)3(dLd令ˆ(4).解似然方程得的最大似然估计量niixfL1;()()(连续型）2)了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的无偏性和有效性．3)了解区间估计的概念，会求正态总体的均值和方差的置信区间.主要参考习题P126:4(1)(2),10,12,16,18,22,231)理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误．2)掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验。3)了解两个正态总体的均值差和方差比的假设检验。第八章主要内容及要求：一个正态总体未知参数的置信区间待估参数随机变量随机变量的分布双侧置信区间的上、下限m2s已知2s未知2s已知m未知mnX/smnSX/mniiX1221msniiXX1221s10，N1ntn212nnzXs2nSntX12nXnXniinii211221222mm11211221222nXXnXXniiniimm0mm0mm0mm0mm0mm02zZzZzZZ检验法(s2已知)原假设H0备择假设H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域)1,0(~0NnXZsm（1）关于m的检验mm0mm0mm0mm0mm0mm02tTtTtTT检验法(s2未知)原假设H0备择假设H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域)1(~0ntnSXTms2s02s2s02)1(22ns2s02)1(212ns2s02s2=s02s2s02)1()1(2221222nn或原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域)1(~)1(22022nSns(m未知)检验法2（2）关于s2的检验主要参考习题P218:3,5,6,14,15理解回归分析的基本思想，掌握一元线性回归分析的参数估计和模型检验。第九章主要内容及要求：主要参考习题P267:9(1)(2)(3)(4)