概率论课件第十一讲

2020/2/12北京邮电大学电子工程学院1第七章随机分析本章的目的：本章旨在均方收敛的意义下建立一套与高等数学类似的研究体系，来研究随机过程（特别是二阶矩过程）的连续性、可导性（可微性）及可积性，从而体现随机过程作为一类特殊的函数，可以建立一套完整的理论体系。思路：先重点介绍均方收敛性的概念和判别条件，然后在引入二阶矩过程的基础上讨论其连续性、可导性（可微性）及可积性。重点：均方收敛性的概念和判别条件；二阶矩过程的概念和性质。备注：考虑到工科研究生的特点，其余内容不讲。2020/2/12北京邮电大学电子工程学院2第一节均方收敛范数线性空间　　线性赋范空间空间。是一线性赋范的范数，则为，称　若是同一元素。，则可认为，且若：，　　　随机变量，令：的是定义在其上的实或复为概率空间，　　设HHHHFH定理7.1.1随机变量空间一、具有有限二阶矩的2121212,..,,,eaEP2020/2/12北京邮电大学电子工程学院3线性空间加法的封闭性(1)，且满足以下运算规律：1.交换律——（2）2.结合律——（3）3.零元素的存在性——（4）4.负元素的存在性——（5）数乘的封闭性(6)，且满足以下运算规律：1.单位元的存在性——（7）2.数乘的结合律——（8）3.数乘的分配律——（9），但描述得不完整2020/2/12北京邮电大学电子工程学院4范数（满足4条）00)4(,3201　（三角不等式），）　（为任一复数，，）　（，）　（HHH222/122/122/12222/1222/122/12222222222222EEEEEEEEEEEEEEEEEEE＋　　　　　　　　　　　　证明：2020/2/12北京邮电大学电子工程学院5nnnLnnnnnn2l.i.m0,22或时的均方极限，记作：当是则称，，若　　设数的定义，我们有：　　根据均方收敛和范　三角不等式可变形为：，三角不等式得证。即：H定义7.1.1件二、均方收敛的充要条2020/2/12北京邮电大学电子工程学院6。为任意实（或复）常数，其中，则，）若（。，即均方极限是唯一的，则　，）若（对均方极限是封闭的。，即，则）若　（，　设,l.i.ml.i.ml.i.m30l.i.ml.i.m201,nnnnnnnnnnnnnnnHHH引理7.1.1..001eannnnnnnnnn，即则：　＋　　　）由（，则　　　充分大，有：）当（2H证明：2020/2/12北京邮电大学电子工程学院7nnnnnnnnnnnnl.i.m03则：　　）由（nEEESchwarzCauchyEEEEnnnnnnnnn01limlim1l.i.m22n不等式，有：）由证明：（限可交换顺序求数学期望和求均方极　）（　　　）（，则：，且　若2H引理7.1.22020/2/12北京邮电大学电子工程学院822limlim02EEnnnnnnn因而：，则）由（EEmnmnnnnnnn,liml.i.ml.i.m,　　　，则：，，且　若H引理7.1.3nEEEEEESchwarzCauchynmnnnmnnnmnmnmn0　　　　　不等式，有：证明：由2020/2/12北京邮电大学电子工程学院90lim)3(lim,)2(l.i.m)1(,,mnmnmnmnnnnCEC使得　存在常数：，则下列条件相互等价　若H均方收敛准则定理7.1.3mnCCCCEEEEEECEEEnmnmmnmnmnmnmnmn,032lim3.1.721222222,）由（）（即可因此，只须令，有：　由引理）（）证明：（2020/2/12北京邮电大学电子工程学院10重点。章学习的敛性非常重要，它是本　　本节讨论的均方收定理，因此略。前面忽略未讲的但因细节问题涉及我们，，最后证敛到某一存在子序列几乎处处收理，于高等数学中的柯西定依概率相互收敛，类似知　　　不等式，有：）由（）（LebesqueFatoumnmnEPChebyshevnnnmnl.i.m,022132020/2/12北京邮电大学电子工程学院11存在和二阶矩过程：，使得　常数　均方收敛性：知识：简单回顾一下上节课的tttECEECnnmilEmnmnmnmnnLnnnnn22,,220limlim||0..0lim2上均方连续。在则称处均方连续，在每一点处均方连续；若在则称，时，为二阶矩过程，若设TtTttttttTttL2,定义7.2.3　二、均方连续第二节二阶矩过程2020/2/12北京邮电大学电子工程学院12均方连续准则：点连续。为此，得下述是否在其相关函数处是否均方连续取决于在因此，　　　　　　而：　　分析：,,,,,,,00222tsRtTttRtRtRttRttEttEtEttEtttL点连续。在其相关函数均方连续处在　二阶矩过程,,,tsRtTtt连续准则）定理7.2.3（均方2020/2/12北京邮电大学电子工程学院13处均方连续在则＝而：　　点连续，则：在”设证明：“tthRhRhRhhRhhEhEhEhtsR00,,,,,,22点连续在则时，有：知，当由引理，，　　处均方连续，则有：在”若“,,,',0',3.1.70',''22tsRREhhEhhRhhhhhhttLL2020/2/12北京邮电大学电子工程学院14处连续。在一切处连续，则在一切：若tstsRtsR,,,,推论tntentEtnntensstPPossionttntnnt!),2,1,0(!0,0则：解：我们知道，性。过程，讨论其均方连续为设例7.2.1　tvsutsRtsEvuEvuRtvtvsusutTttsRLL,,,3.1.7,,22　　，有：由引理　，　　　均方连续，即有：，处连续，则对任意的在一切：由均方收敛准则，若证明2020/2/12北京邮电大学电子工程学院15tntnetteentnentnentetntentenntentEnntttnntnntnntnntntnntn1!1!1!1!1!1!1!1121111111022则：则：　　　：上式两端同时求导，有而：2020/2/12北京邮电大学电子工程学院16tstsCtsststsRtsCtstttsRtsssstsssstsEsEstsEsstsEtsEtsRtssttttttEtEtDttntentEntn,min,,,,0,,1100,0,11!12222212一般地，有）（而请大家自证。对均方连续。对任意的处连续，即在显然，，则：，不妨假设若则：2020/2/12北京邮电大学电子工程学院17：在任意一点的均方导数机过程　　类似地，可定义随。存在且有限，记为处可导在求导数的概念：函数　　首先回顾高等数学三、均方导数Ttttfhtfhtfttfh,'lim00000。，或均方可微，记为上均方可导或处均方可导，则称它在在每一点导数；若处的均方在称为处均方可导，记为在则称　　　　，使随机变量为二阶矩过程，若存在　设TtdttdtTTtttttthhETtth''0lim,20H定义7.2.42020/2/12北京邮电大学电子工程学院18因此：时存在，当分析：二次可导的原因。准则，可讲解引入广义　　为了给出均方可导0',',,','''2h,h'hhRhRhRhhRhhhhEhhLtsftstsftstsftststsf2,,,2,,,,广义二次导数，且等于处存在在处连续，则存在且在二阶混合偏导数的一阶偏导数存在处及其附近关于在　若引理7.2.1广义二次可导。在存在，则称　　　限：为二元函数，若如下极　设tstsfhhtsfhtsfthsfhthsftsfhh,,',',,',lim,0',定义7.2.52020/2/12北京邮电大学电子工程学院19tstsfhttsftthsftts