概率论：二维随机变量的函数的分布.

二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布.,),,(,,,,的分布分布确定的如何通过的函数关系与并且已知表示该人的血压年龄和体重分别表示一个人的和令有一大群人ZYXYXgZYXZZYX为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数是一维离散型随机变量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?),(YXgZ),(YXgZ例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij-112-104161418112181求XYXYYXYX,,,的概率分布解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P4141618181121X+YX-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20故得PX+Y-2-101241414161121PX-Y-101234141418181PXY-2-1016141812411PY/X-1-1/2014181241161结论的联合分布律为若二维离散型随机变量,,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXgZ}),({}{kkzYXgPzZP.,2,1,)(kpjikyxgzij例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量Z=X+Y的分布律.},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ3557所以YXZP35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布设X~P(1),Y~P(2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~P(1+2)证明过程见73页例3.21问题已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，求Z=g(X,Y)的密度函数.方法从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件三、连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布主要形式的分布YXZ)1(的分布及),min(),max()2(YXNYXM这里X,Y相互独立。设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数1.和分布：Z=X+Y的分布求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。yxyxfzyxdd),(yuxyxyxfyzdd),(yuyyufzdd),(.dd),(uyyyufz•z•z设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为zyzduyyufdxyxf),(),(由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ由于X与Y对称,当X,Y独立时,也可表示为)(zfZ()()()dZXYfzfzyfyy()()()dZXYfzfxfzxx或卷积公式XYff记作XYff记作称之为函数fX与fY的卷积例3设随机变量X,Y相互独立,且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率分布.),(21)(22xexfxX所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为〖解〗因为X,Y独立且其概率密度分别为dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221),(21)(22yeyfyY1、考虑被积函数的非零区域;2、z在(-∞,+∞)上取值;3、x在(-∞,+∞)上积分;4、在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形.dxeezxz22)2(4214221ze2zxtdteetz2242122)2(2221ze所以Z~N(0,2).).(z说明).,(~,).,(~),,(~,,222121222211σσμμNZYXZσμNYσμNXYX且有仍然服从正态分布则相互独立且设一般有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.正态随机变量的结论（定理3.1）若X,Y相互独立,),(~),,(~222211NYNX则),(~222121NYXniNXiii,,2,1),,(~2若nXXX,,,21相互独立则),(~1211niiniiniiNX推广例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：,,0,100,5010)(其它tttf〖解〗因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷积公式计算:dxxzfxfzfYXZ)()()(求Z=X+Y概率密度。计算积分思路:1.被积函数非零区域;2.z取任意实数;3.x在(-∞,+∞)上积分;4.综合上述就z分段.,,0,100,5010)(其它xxxfX由边缘概率密度确定的表达式,特别是其非零区域:)()(xzfxfYX由题目条件得:,,0,100,50)(10)(其它xzxzxzfY,,010,100,50)(105010)()(其它xzxxxzxxzfxfYX故得:计算卷积:函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确定后,x由-∞积分至+∞(只需在非零区域内一段上积分).zZdxxzxzf050105010)(zdxxzxz02)10100(25001100z150006060032zzz2010z101050105010)(zZdxxzxzf15000)20(3z10102)10100(25001zdxxzxz200zz或,0)()(xzfxfYX因为所以.0)(zfZ.0,2010,15000)20(,100,1500060600)(332其它zzzzzzzfZ综上可得:□参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;对上述各分段中取定的z值,就x从-∞积分至+∞,实际只需在非零区域D上一段积分.卷积计算思路在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;dxxzfxfzfYXZ)()()(注意：上述也是一般参量积分的计算方法。练习若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.其它,010,1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解由卷积公式其它,01,10,1)()(xzxxxzfxfYXzxzxOz1zx211zz1z暂时固定0.Zfz故当或时,0z2z0zZfzdx当时,01z12z当时,z11Zzfzdx2z于是,01,2,12,0,.Zzzfzzz其它dxxzfxfzfYXZ)()()(的分布及),min(),max(.2YXNYXM),()()(maxzFzFzFYX)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX推广的分布函数分别为及则),,,min(),,,max(2121nnXXXNXXXM),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX),,2,1()(,,,,21nixFnXXXiXni它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设)].(1[)](1)][(1[1)(21minzFzFzFzFnXXX则分布函数相互独立且具有相同的若,)(,,,21xFXXXn,)]([)(maxnzFzF.)](1[1)(minnzFzF.),,((iii),(ii),(i),,2121如图所示开始工作系统损坏时当系统备用并联串联连接的方式分别为联接而成统由两个相互独立的子系设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例度分别为已知它们的概率密的寿命分别为设,,,21YXLL,0,0,0,e)(xxαxfαxX由解串联情况(i),,,21就停止工作系统中有一个损坏时由于当LLL的寿命为所以这时L).,min(YXZ..0,0的概率密度的寿命接方式写出试分别就以上三种联且其中ZLβαβα,0,0,0,e1)(xxxFαxX,0,0,0,e)(xxαxfαxX,0,0,0,e)(yyβyfβyY;0,0,0,e)(yyβyfβyY由.0,0,0,e1)(yyβyFβyY)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX.0,0,0,e1)(zzzβα.0,0,0,e)()()(minzzβαzfzβα的寿命为所以这时L).,max(YXZ的分布函数为),max(YXZ)()()(maxzFzFzFYX.0,0,0),e1)(e1(zzβzαz.0,0,0,e)(ee)()(maxzzβαβαzfzβαβzαz并联情况(ii),,,21才停止工作系统都损坏时由于当且仅当LLL,,21才开始工作系统损坏时由于这时当系统LL即两者之和是的寿命因此整个系统,,21LLZLYXZ的概率密度为时当YXZz,0yyfyzfzfYXd)()()(zβyyzαyβα0)(deezyαβαzyαβ0)(dee备用的情况(iii),0)(,0zfz时当的概率密度为于是YXZ.0,0,0],ee[)(zzαβαβzfβzαz].ee[βzαzαβαβ需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.小结1.离散型随机变量函数的分布律的联合分布律为若二维离散型随机变量,,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXgZ}),({}{kkzYXgPzZP.,2,1,)(kpjikyxgzij2.连续型随机变量函数的分布的分布YXZ)1(的分布及),min(),max()2(YXNYXM这里X,Y相互独立。),()()(maxzFzFzFYX)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX例题设随机向量(X,Y)服从区域D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密度函数.解(X,Y)的联合概率密度为其它031,3141),(yxyxf1331(1)u≤0时,F(u)=0y-x=uy-x=-uy-x=-2由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.Gf(u)=0(2)0u2时,dxdyuFuyx||41)(42uu(3)u≥2时,F(u)=1f(u)=1-u/2f(u)=0所以其它020211)(uuuf