一元二次方程式以及几种主要解法

一元二次方程及其解法032ba3333baabba已知，求的值答案：65小结：0,0,00,0,02222babababababa都可转化为a=b=0032ba已知，求的值已知两个最简二次根式与相加等于，那么a=,b=,x=.ax2b3373323732bax一、复习提问、1、一元二次方程的一般形式是什么？2、一元二次方程分类一般形式缺一次项缺常数项缺一次项及常数项)0(02acbxax)0,0,0(02cbacax)0,0,0(02cbabxax)0,0(02cbaax探究交流（1）判断方程X（X＋10）=X2－3是否是一元二次方程？（2）方程3X2＋2X=1的常数项是1，方程3X2－2X＋6=0的一次项系数是2，这种说法对吗？答案：（1）化简后为10X＋3=0,所以它是一元一次方程。（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前面的性质符号。练习：（1）方程（m＋2）X|m|＋3mx＋1=0是关于X的一元二次方程，求m的值。答案：m=2（2）当m=时，方程（m2－1）x2－（m－1）x＋1=0是关于x的一元一次方程。答案：m=－1（3）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2＋3x＋㎡－1=0有一个解是0，求m的值。答案：m=－1（4）m为何值时，关于x的一元二次方程mx2＋m2x－1=x2＋x没有一次项？答案：m=－1活动1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？(课件：制作盒子)问题1活动1要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）问题2例已知：关于x的方程(2m-1)x2-(m-1)x=5m是一元二次方程,求：m的取值范围.解：∵原方程是一元二次方程，∴2m-1≠0，∴m≠.21方程的解的定义使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程X2－5X＋6=0的根。注意：一元二次方程可以无解，若有解，就一定有两个解。活动23．猜测下列方程的根是什么？2560xx方程的根：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.4.（1）下列哪些数是方程260xx的根？从中你能体会根的作用吗？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4活动2（2）若x＝2是方程的一个2450axx根，你能求出a的值吗？根的作用：可以使等号成立.活动3巩固练习2360x2490x1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）；（2）.问题1：一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为X，则一个正方体的表面积为6X2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程解15006102x由此可得252x根据平方根的意义，得5x即5,521xx因为棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm.对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程及方程5122x?2962xx由方程5122x得：512x即512,512xx方程的两根为251,25121xx解方程2962xx可化为得方程的两根为232x23x32,3221xx02cax.2cax.2acx.acx当ac0时，形如（a≠0，c≠0）的一元二次方程的解法：当ac＞0时，此方程无实数解.-3x2+7=0.解：.321,321,321,37,37,732122xxxxxx.5222x.252x,2522x解：系数化1，得2102x开平方，得解这两个一元一次方程，得.2102x或2210,2210xx2222(1)(1)41(2)(2)303(3)4(32)4901(4)(23)1002xyxx解下列方程：小结如何解形如的一元二次方程?khx2)(222(1)(1)2(2)9(2)2501(3)(23)403yxx例2、解下列方程：2、解方程：22)2(4)1(xx拓展与提高：2222(1)(1)36(12)0(2)4(31)9(31)0xxxx练习22)1()2(4xx复习填空1)x2-2x+()=[x+()]22)x2+6x+()=[x-()]2222)(y)(y5y)53)x2++()=[x+()]24)y2-y+()=[y-()]2x211-19-31614141212525(1)x2＋8x＋=(x＋4)2(2)x2－3x＋=(x－)2(3)x2－12x＋=(x－)2配方时,若二次项系数为1，则配上的常数是一次项系数一半的平方.164923366请同学解下列方程（1）3x2-1=5（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得p如：4x2+16x+16=（2x+4）2x=±p（p≥0）．或mx+n=±二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：12812xx整理得：x2-64x+768=081问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=5000整理，得：x2-36x-2180=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0移项→x2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=256降次→x-32=±16即x-32=16或x-32=-16解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.活动11．要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2，场地的长和宽分别是多少？归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.0462xx0882xx先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.配方法11342xx练习：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？活动2用配方法解下列方程:(1)x2＋6x=1(2)x2=6－5x(3)－x2＋4x－3=0x2＋12x=－9你能总结出配方法的步骤吗?652xx1.在用配方法解时,方程的两边应同时加上()1212xx1.A41.B161.C641.D2.解方程:C0342xx①3、说明多项式的值恒大于012222mmxx4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式值总大于0，再求出当x取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？752xx752xx122mmx你能行吗用配方法解下列方程.1.x2–2=0;2.x2-3x-=0;3.x2＋4x＝2；4.x2－6x＋1＝0；随堂练习15.3x2+8x–3=0;41这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是1,而是3.基本思想是:如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.你想到了什么办法?配方法例2解方程3x2+8x-3=0.1.化1:把二次项系数化为1;.0383:2xx解.3534x,311x.32x.01382xx.3413438222xx.353422x.3534x3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;.1382xx师生合作1成功者是你吗用配方法解下列方程.6.4x2-12x-1=0;7.3x2+2x–3=0;8.2x2+x–6=0;9.4x2+4x+10=1-8x.10.3x2-9x+2=0;11.2x2+6=7x;12.x2_x+56=0;13.-3x2+22x-24=0.心动不如行动你能行吗做一做一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h=15t-5t2.小球何时能达到10m的高度?开启智慧.51510:2tt根据题意得解.2123t,21t.12t.232tt即.41232t.2123t.232233222tt.10,2,;10,1:msms其高度又为时在后下落至最高点小球达到时在答回味无穷本节课复习了哪些旧知识呢？继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用:平方根的意义:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.本节课你又学会了哪些新知识呢？用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二次方程解应用题).小结拓展如果x2=a,那么x=.a设a≠0，a,b,c都是已知数，并且b2-4ac≥0，试用配方法解方程：ax2+bx+c=0.cbxax2acxabx222222abacabxabx222442aacbabxaacbabx2422aacbbx242b2-4ac≥0因为解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=（b2-4ac≥0）aacbb242活动2利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？222(1)320;(2)22