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第2讲椭圆、双曲线、抛物线专题六解析几何栏目索引高考真题体验1热点分类突破2高考押题精练3高考真题体验12341.(2016·课标全国乙改编)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是__________.(－1,3)解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3.解析答案12342.(2016·天津改编)已知双曲线x24－y2b2＝1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为____________.x24－y212＝1答案解析12343.(2016·课标全国甲改编)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为________.2答案解析12344.(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.9解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.解析答案考情考向分析返回1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).热点一圆锥曲线的定义与标准方程热点分类突破1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：PF1＋PF2＝2a(2aF1F2)；(2)双曲线：|PF1－PF2|＝2a(2aF1F2)；(3)抛物线：PF＝PM，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.例1(1)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹方程为________________.x225＋y29＝1(y≠0)解析∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴AB＝8，BC＋AC＝10.∵108，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a＝10,2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是x225＋y29＝1(y≠0).解析答案(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.54解析由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知BA＋BC＝2a＝10，在△ABC中，由正弦定理可知，sinA＋sinCsinB＝BC＋BAAC＝108＝54.解析答案思维升华跟踪演练1(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为____________.y29－x227＝1解析由抛物线x2＝24y得焦点坐标为(0,6)，∵双曲线的一个焦点与抛物线x2＝24y的焦点相同，∴c＝6，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴ab＝33，即b＝3a，又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝27，∴双曲线的标准方程为y29－x227＝1.解析答案(2)抛物线y2＝4x上任一点到定直线l：x＝－1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F的坐标为_______.解析因为2p＝4，所以p＝2，可得p2＝1(1,0)故焦点坐标为(1,0)，即定点的坐标为(1,0).解析答案热点二圆锥曲线的几何性质(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－(ba)2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋(ba)2.1.椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系2.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.例2(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为________.5－12答案解析(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且BC＝CF2，则双曲线的渐近线方程为_____________.答案解析y＝±(3＋1)x思维升华解析由题意知AB＝BF2，AF1＝AF2＝a，设BF1＝x，则x＋x＋a＝2a，33x2a2＋y2b2＝1跟踪演练2(1)已知椭圆(ab0)的左焦点F1和右焦点F2，上顶点为A，AF2的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，则椭圆的离心率为________.所以x＝a2，故AF1→＝2F1B→，(－c，－b)＝2(xB＋c，yB)，易求得B(－3c2，－b2)，代入椭圆方程得9c24a2＋b24b2＝1，解得c2a2＝13，所以e＝33.解析答案(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为____________.y＝±24x解析由题意得a2＋1＝9⇒a＝22，而双曲线x2a2－y2＝1的渐近线方程为y＝±1ax，即y＝±24x.解析答案热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.例3(2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到直线l：x＝－a2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；解由题意，得ca＝22且c＋a2c＝3，解得a＝2，c＝1，则b＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.解析答案(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.解析答案思维升华跟踪演练3(1)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为__________.故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，由y＝k(x＋2)，y2＝8x，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，[－1,1]解析由题意知抛物线的准线为x＝－2，∴Q(－2,0)，显然，直线l的斜率存在，当k＝0时，x＝0，此时交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，即[4(k2－2)]2－16k4≥0，解得－1≤k0或0k≤1，综上，k的取值范围为[－1,1].解析答案(2)设椭圆C：x24＋y23＝1与函数y＝tanx4的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________.[38，34]返回答案解析12押题依据高考押题精练押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点.1.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线与直线3x＋6y＋3＝0垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(x－c)2＋y2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为________.25答案解析2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为627，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.12押题依据押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.返回解析答案