搜索
第36讲┃“三数”与“三差”第36讲┃考点聚焦考点聚焦考点1数据的代表平均数定义一组数据的平均值称为这组数据的平均数算术平均数一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么________________叫做这n个数的平均数加权平均数一般地，如果在n个数x1，x2，…，xn中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么，x＝____________________叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做x1，x2，…，xk的权x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)1n(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)第36讲┃考点聚焦中位数定义将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于________________就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间____________________就是这组数据的中位数防错提醒确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定中间位置的数两个数据的平均数第36讲┃考点聚焦众数定义一组数据中出现次数________的数据叫做这组数据的众数防错提醒(1)一组数据中众数不一定只有一个；(2)当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来考查最多第36讲┃考点聚焦考点2数据的波动表示波动的量定义意义极差一组数据中的__________与__________的差，叫做这组数据的极差，它反映了一组数据波动范围的大小极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大最大数据最小数据第36讲┃考点聚焦方差设有n个数据x1，x2，x3，…，xn，各数据与它们的______的差的平方分别是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我们用它们的平均数，即用_______________________来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2方差越大，数据的波动越________，反之也成立平均数1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]大第36讲┃考点聚焦考点3用样本估计总体统计的基本思想利用样本特征去估计总体的特征是统计的基本思想．注意样本的选取要有足够的代表性利用数据进行决策利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策第36讲┃归类示例归类示例►类型之一平均数、中位数、众数命题角度：1．平均数、加权平均数的计算；2.中位数与众数的计算．例1[2013·黄冈]为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：第36讲┃归类示例年收入(单位：万元)22.5345913家庭个数1352211(1)求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；(2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．第36讲┃归类示例[解析](1)根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；(2)在平均数，众数两数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数更能反映家庭年收入的一般水平．第36讲┃归类示例解：(1)这15名学生家庭年收入的平均数是：(2＋2.5×3＋3×5＋4×2＋5×2＋9＋13)÷15＝4.3(万元)．将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3，所以中位数是3万元．在这一组数据中3出现次数最多，故众数是3万元．(2)众数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，因为3出现的次数最多，所以能代表家庭年收入的一般水平．第36讲┃归类示例(1)体会权在计算平均数中的作用．实际生活中根据重要程度的不同设置不同的权重是计算平均数的另一种方法，使人感到重要性的差异对结果的影响．(2)要准确理解中位数的“中位”以及计算中位数需注意两点：第一，先排序，可从大到小排，也可从小到大排；第二，定奇偶，下结论．►类型之二极差、方差命题角度：1．极差的计算；2．方差与标准差的计算．第36讲┃归类示例例2[2013·宿迁]已知一组数据：1，3，5，5，6，则这组数据的方差是()A．16B．5C．4D．3.2D[解析]∵x－＝15(1＋3＋5＋5＋6)＝15×20＝4，∴s2＝15×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2×2＋(6－4)2]＝15×(9＋1＋2＋4)＝3.2.∴选D.第36讲┃归类示例计算一组已知数据的方差，应先求出这组数据的平均数，再利用方差公式进行计算．在计算方差时，通常都要与平均数打交道，因此，记忆方差公式的方法是：先平均、再作差、平方后、再平均，这12个字是对方差计算公式的最好注释．►类型之三平均数、众数、中位数、极差与方差在实际生活中的应用第36讲┃归类示例命题角度：利用样本估计总体．例3[2013·宿迁]某学校抽查了某班级某月10天的用电量，数据如下表(单位：度)：(1)这10天用电量的众数是________，中位数是________，极差是________；(2)求这个班级平均每天的用电量；(3)已知该校共有20个班级，该月共计30天，试估计该校该月总的用电量．度数8910131415天数11231213度13度7度第36讲┃归类示例[解析](1)根据“三数”及极差的定义，不难解决前两问；(2)利用小学算术方法，求出第(2)题后，利用乘法运算即可解决第(3)问．第33讲┃归类示例(2)∵x－＝110(8＋9＋10×2＋13×3＋14＋15×2)＝12(度)，∴这个班级平均每天的用电量为12度．(3)∵12×20×30＝7200(度)，∴估计该校该月总的用电量为7200度．统计的核心思想是用样本去估计总体，本题的命题就体现了这一思想．对于一组数据来说，出现次数最多的那个数据就是这组数据的众数；按从小到大的顺序排列后，处于最中间的一个数(共有奇数个数据)(或中间两个数的平均数(共有偶数个数据))就是这组数据的中位数；极差是这组数据中最大数与最小数的差；平均数是所有数据的和除以数据个数．当然，本题求平均数的方法是利用加权平均数的计算公式进行计算的．第36讲┃归类示例第36讲┃回归教材条形图中见三数(平均数、众数与中位数)回归教材教材母题江苏科技版八上P185T10某公司抽查了某月10天全公司的用电数量，数据如下表(单位：度)：(1)写出上表中数据的众数和平均数；(2)根据获得的数据，估计该公司本月的用电数量(按30天计算)；若每度电的定价为0.5元，估算本月的电费支出约多少元？度数9093102113114120天数112312第36讲┃回归教材[解析]要估计本月的用电数量，可先计算所抽取样本的平均用电数量，用样本的平均用电数量去估计本月的用电数量．第36讲┃回归教材[点析]先计算样本平均数，再用样本平均数去估计总体的平均数，这是学习统计知识时要掌握的重要的数学思想．解：(1)众数为113，平均数x－＝90＋93＋102×2＋113×3＋114＋120×210＝108.(2)本月的电费支出约为30×108×0.5＝1620(元)．第36讲┃回归教材[2013·乌鲁木齐]如图36－4所示的条形图描述了某车间工人日加工零件数的情况，则这些工人日加工零件数的平均数、中位数、众数分别是()A．6.4，10，4B．6，6，6C．6.4，6，6D．6，6，10图36－4B中考变式第36讲┃回归教材[解析]观察直方图，可得这些工人日加工零件数的平均数为(4×4＋5×8＋6×10＋7×4＋8×6)÷32＝6.将这32个数据按从小到大的顺序排列，其中第16个、第17个数都是6，∴这些工人日加工零件数的中位数是6.∵在这32个数据中，6出现了10次，出现的次数最多，∴这些工人日加工零件数的众数是6.