2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习第3讲 整式及其运算

第3讲整式及其运算考点一整式的有关概念1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子，而多项式是指几个单项式的和．2．单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数．3．多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．考点二整式的运算1．整式的加减(1)同类项与合并同类项所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．(2)去括号与添括号①括号前是“＋”号，去掉括号和它前面的“＋”号，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，去掉括号和它前面的“－”号，括号里的各项都改变符号．②括号前是“＋”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号里的各项都改变符号．(3)整式加减的实质是合并同类项．2．幂的运算同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an＝am＋n(m、n都是整数)．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n＝amn(m、n都是整数)．积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘，即(ab)n＝anbn(n为整数)．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an＝am－n(a≠0，m、n都为整数)．3．整式的乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.4．整式的除法单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加．5．乘法公式(1)平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(2)完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍，即(a±b)2＝a2±2ab＋b2.(1)下列运算正确的是()A．a·a2＝a2B．(ab)3＝ab3C．(a2)3＝a6D．a10÷a2＝a5(2)下列各选项的运算结果正确的是()A．(2x2)3＝8x6B．5a2b－2a2b＝3C．x6÷x2＝x3D．(a－b)2＝a2－b2(3)下列运算中正确的是()A．3a＋2a＝5a2B．(2a＋b)(2a－b)＝4a2－b2C．2a2·a3＝2a6D．(2a＋b)2＝4a2＋b2【点拨】(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验．【解答】(1)C(2)A(3)B(1)如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m和n的取值是()A．3和－2B．－3和2C．3和2D．－3和－2(2)已知y＋2x＝1，求代数式(y＋1)2－(y2－4x)的值．【点拨】(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得2n－1＝m，m＝3，解得m＝3，n＝2.(2)题考查求代数式的值，考虑整体代入思想．【解答】(1)C(2)原式＝y2＋2y＋1－y2＋4x＝2y＋4x＋1＝2(y＋2x)＋1.当y＋2x＝1时，原式＝2×1＋1＝3.1．下列运算中，正确的是(A)A．x3·x2＝x5B．x＋x2＝x3C．2x3÷x2＝xD．(x2)3＝x322．下列运算正确的是(C)A．a3·a4＝a12B．a6÷a3＝a2C．2a－3a＝－aD．(a－2)2＝a2－43．下列运算正确的是(D)A．2x5－3x3＝－x2B．(－2x2y)3·4x－3＝－24x3y3C．(12x－3y)(－12x＋3y)＝14x2－9y2D．(3a6x3－9ax5)÷(－3ax3)＝3x2－a54．如果a－3b＝－3，那么代数式5－a＋3b的值是(D)A．0B．2C．5D．85．如果代数式4y2－2y＋5的值为7，那么代数式2y2－y＋1的值等于(A)A．2B．3C．－2D．46．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n＝2.7．化简：(x＋3)2－(x－1)(x－2)．9x＋78．先化简，再求值：(2x－1)2－(x＋2)(x－2)－4x(x－1)，其中x＝3.解：原式＝－x2＋5当x＝3，原式＝2考点训练3整式及其运算训练时间：60分钟分值：100分整式及其运算训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共45分)1．下列运算正确的是()A．a6÷a2＝a3B．5a2－3a2＝2aC．(－a)2·a3＝a5D．5a＋2b＝7ab【解析】(－a)2·a3＝a2·a3＝a5.【答案】C2．下列运算正确的是()A．(a－b)2＝a2－b2B．(－a2)3＝－a6C．x2＋x2＝x4D．3a3·2a2＝6a6【解析】(－a2)3＝(－1)3·(a2)3＝－a6.【答案】B3．下列运算正确的是()A．3－1÷3＝1B.a2＝aC．|3.14－π|＝3.14－πD．(12a3b)2＝14a6b2【解析】(12a3b)2＝(12)2·(a3)2b2＝14a6b2.【答案】D4．下列各式运算中，正确的是()A．(a＋b)2＝a2＋b2B.－32＝3C．a3·a4＝a12D．(3a)2＝6a2(a≠0)【解析】－32＝|－3|＝3.【答案】B5．下列运算正确的是()A．－2(a－b)＝－2a－bB．－2(a－b)＝－2a＋bC．－2(a－b)＝－2a－2bD．－2(a－b)＝－2a＋2b【解析】－2(a－b)＝－(2a－2b)＝－2a＋2b.【答案】D【解析】本题考查平方差公式．【答案】C6．下列运算正确的是()A．3a＋2a＝a5B．a2·a3＝a6C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2D．(a＋b)2＝a2＋b27．(中考变式题)已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是()A．－5x－1B．5x＋1C．－13x－1D．13x＋1【解析】3x2＋4x－1－(3x2＋9x)＝3x2＋4x－1－3x2－9x＝－1－5x.【答案】A8．(中考变式题)如果单项式－3x4a－by2与13x3ya＋b的差也是单项式，那么这两个单项式的积是()A．x6y4B．－x3y2C．－83x3y2D．－x6y4【解析】如果单项式之差为单项式，说明原单项式是同类项，因此(－3x3y2)·13x3y2＝－x6y4.【答案】D9．(中考变式题)若a0且ax＝2，ay＝3，则ax－y的值为()A．－1B．1C.23D.【解析】因为a0，所以ax－y＝ax÷ay＝2÷3＝23.【答案】C10．(中考变式题)计算(－3)2009·(13)2010等于()A．－3B.13C．3D．－13【解析】(－3)2009×(13)2010＝(－3)2009×(13)2009×13＝[(－3)×13]2009×13＝(－1)2009×13＝－1×13＝－13.【答案】D11．下列运算正确的是()A．(a3)2＝a5B．a3＋a2＝a5C．(a3－a)÷a＝a2D．a3÷a3＝1【解析】a3÷a3＝a3－3＝a0＝1.【答案】D12．若x＝1，y＝12，则x2＋4xy＋4y2的值是()A．2B．4C.32D.12【解析】x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2当x＝1，y＝12时，原式＝(1＋2×12)2＝(1＋1)2＝22＝4.【答案】B13．中考预测题)代数式3a2－4a＋6的值为9，则a2－43a＋6的值为()A．7B．8C．12D．9【解析】∵3a2－4a＋6＝9，∴a2－43a＝1，∴a2－43a＋6＝1＋6＝7.【答案】A14．(中考预测题)下列各式中，与x2y是同类项的是()A．xy2B．2xyC．－x2yD．3x2y2【解析】同类项必须满足所含字母相同并且相同字母的指数也相同．【答案】C15．(中考预测题)现规定一种运算：x*y＝xy＋x－y，其中x、y为实数，则x*y＋(y－x)*y等于()A．x2－yB．y2－yC．y2D．y2－x【解析】x※y＋(y－x)※y＝xy＋x－y＋(y－x)·y＋y－x－y＝xy＋x－y＋y2－xy＋y－x－y＝y2－y.【答案】B二、填空题(每小题3分，共24分)16．已知a2－a－1＝0，则a2－a＋2009＝________.【解析】∵a2－a－1＝0，∴a2－a＝1，∴a2－a＋2009＝2010.【答案】201017．(中考变式题)单项式－35m2n的系数是______，次数是________．【解析】单项式的次数是所有字母的指数之和．【答案】－35318．(中考变式题)若m、n互为倒数，则mn2－(n－1)的值为________．【解析】若m、n互为倒数，则mn＝1，mn2－(n－1)＝mn·n－n＋1＝n－n＋1＝1.【答案】119．如图，在宽为30m、长为40m的矩形地面上修建两条宽都是1m的道路，余下部分种植花草．那么，种植花草的面积为________m2.【答案】1131【解析】(30－1)×(40－1)＝29×39＝1131.20．若代数式x2－6x＋b可化为(x－a)2－1，则b－a的值是________．【解析】x2－6x＋b＝x2－6x＋9＋b－9＝(x－3)2＋b－9，∴a＝3且b－9＝－1，∴b＝8，∴b－a＝8－3＝5.【答案】521．若x＋y＝3，xy＝1，则x2＋y2＝________.【解析】x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝9－2＝7.【答案】722．用如图所示的正方形和长方形卡片，拼成一个长为3a＋b，宽为a＋2b的矩形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．【解析】(3a＋b)(a＋2b)＝3a2＋7ab＋2b2【答案】37223．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________．【解析】S甲＝(a－b)(a＋b)，S乙＝a2－b2，∵S甲＝S乙，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2三、解答题(共31分)24．(5分)化简：(a＋2)(a－2)－a(a＋1)．解：原式＝a2－4－a2－a＝－4－a.25．(5分)(中考变式题)计算：(a＋2b)(a－2b)－12b(a－8b)．解：原式＝a2－4b2－12ab＋4b2＝a2－12ab.26．(5分)先化简，再求值：2a(a＋b)－(a＋b)2，其中a＝3，b＝5.解：2a(a＋b)－(a＋b)2＝2a2＋2ab－a2－2ab－b2＝a2－b2当a＝3，b＝5时，原式＝(3)2－(5)2＝3－5＝－2.27．(5分)(2009中考变式题)已知x2－4＝0，求代数式x2(x＋1)－x(x2－1)－x－7的值．解：x2(x＋1)－x(x2－1)－x－7＝x3＋x2－x3＋x－x－7＝x2－7当x2－4＝0即x2＝4时，原式＝4－7＝－3.28．(5分)(中考预测题)先化简，再求值：(3＋m)(3－m)＋m(m－6)－7，其中m＝12.解：(3＋m)(3－m)＋m(m－6)－7＝9－m2＋m2－6m－7＝2－6m当m＝12时，原式＝2－6×12＝2－3＝－1.29．(6分)(中考预测题)给出三个整式a2，b2和2ab.(1)当a＝3，b＝4时，求a2＋b2＋2ab的值．(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．解：(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2当a＝3，b＝4时，原式＝(3＋4)2＝72＝49(2)答案不